앞서 포논 (phonon)은 고체를 구성하고 있는 격자 혹은 원자의 진동으로, 이는 물질의 열적 특성과 크게 관련이 있습니다.
우리가 알고 있는 열적 특성은, 열전도도, 열용량, 비열 등이 있지요. 먼저 각 용어들을 먼저 정리해보죠.
열전도도:
열용량 (Heat capacity): 물질의 온도를 단위 온도만큼 올리는데 필요한 열량. 즉 단위는 에너지/온도.
비열 (Specific heat capacity): 비열은 단위 질량의 어떤 물질의 온도를 단위 온도만큼 올리는 데 필요한 열량을 말한다.cal/g·K 즉 단위는 (에너지/질량,온도)
즉, 열용량은 엄밀히 말해, 고체의 특성이라고 말할 수 없습니다.
포논에 의한 열용량
부피가 일정하다고 가정했을때, 열용량은 온도에 대한 내부에너지의 구배로 표현할 수 있습니다. (Cv = dU/dT)
여기서 포논과 관련지어서 설명하면,
고체 내부의 전체 에너지는 특정 온도에서의 모든 포논을 더한것과 동일하다고 할 수 있습니다. (다른 기여는 없다고 보는 겁니다. 전자의 이동 등등)
특정 frequency를 가지는 포논의 에너지는 당연히 hw 로 표현할 수 있고, 이를 몽땅 다 더하는건데,
여기서 온도 항이 들어갑니다. 온도에 따른 에너지의 분포. 즉 Planck distribution 항이, 온도에 따른 포논의 점유도를 나타내게 됩니다.
즉, 모든 모드에 대해서 몽땅 합을 하는데, 여기서 온도 분포 함수, 그리고 에너지가 곱해진 형태로 나타납니다. (Kittel 5-8)
여기서 수식을 간단하게 하는 작업이 들어가는데, K에 대한 것을 없애는 것입니다.
우리는 w와 K가 dispersion relation을 가지고, dw/dk가 군속도를 나타낸다는 것을 배웠지요.
즉 K에 대해서 다 더하는게 아니라, w에 대해서 다 더하는 항으로 바꿔보자는 겁니다. (w가 hw 항으로 들어가 있으니.)
즉 w에 대해서, 얼마나 많은 포논이 존재하냐. 우리는 이것은 density of state라고 합니다.
L이라는 길이른 가지는 line에 10개에 원자가 있다고 합시다. 여기서 만들어질 수 있는 k는 총 9개 입니다.
즉 원자의 갯수가 N개 있으면 가능한 갯수는 N-1개가 됩니다.
K = pi/L ~ (N-1)pi/L
K는 pi/L 마다 한개씩 있지요. 즉, 단위 K 마다는 L/pi 만큼 있는 겁니다.
이를 이제 dw를 써서 나타내면
D(w)dw = L/pi dK /dw * dw (Kiteel 5-15)
이를 3차원에서 보면
K 공간에서 보면, 유닛 볼륨당 가능한 K는 (L/2pi)^3 되고,
전체 K 공간의 부피를 생각해보면, 가능한 전체 K는 (L/2pi)^3 * 4piK^3/3 이 되지요. 즉 D(w)는 식 20과 같이 표현될 수 있습니다.
여기서 아주아주 중요한 개념이 나오는데요, 바로 Debye Temperature (드바이 온도 입니다.)
dK/dw가 constant 속도라고 가정하고, 식을 정리하면 이제 K가 전혀 없는 항들로 만들 수 있지요.
D(w) 식으로 부터 w로 정리를 한것이 식 23입니다. 즉 모든 phonon N으로 표현되는데, 즉 모든 N을 포함하는 w가 나타납니다.
이제 내부 에너지를 계산하기 위한 적분 공식은 wD 까지 적분하는 공식으로 나타나게 되는데, 이를 간단하게 정리하면 온도의 term으로 나타납니다.
이것이 드바이 온도로, 즉 내부에너지를 계산할때 적분 경계로, 모든 포논을 다 고려하는데 사용되는 온도항 입니다.
이제 이녀석을 미분하면, 열용량을 계산할 수 있겠지요.
되게 낮은온도를 고려하게 되면, 이 Cv는 T의 3승항으로 나타납니다. 이게 Debye T^3 모델이지요. 낮은 온도에서는 잘 따라갑니다.
고체의 내부 에너지를 계산할때, 포논들의 합으로 계산한다. (k, p 에 따른 phonon 모드를 모두 더함)
여기서 계산할때 Planck distribution을 사용하지. 이렇게 계산을 하면 T (온도 항이 들어오게 됨).
(정의)
Heat capacity (Cv) : 특정 고체 온도를 1도 올리는데 필요한 에너지. ( E=CmT를 생각해).
Specific heat : 특정 고체 1g 온도를 1도 올리는데 필요한 에너지
돌: 비열이 낮다. 열전도도가 낮다.
금속: 비열이 높다. 열전도도가 높다.
열전도도 = 비열, mean free path, 속도