superconductivity

현재 웹 사이트가 완전히 오픈된 상태가 아니라, 아마 들어오시는 분들이 없겠지만

최근 연구 자료들을 정리하면서 필요한 내용들을 간단하게 정리해보려고 합니다.

초전도 (Superconductivity)는 어떻게 보면 상당히 macroscopic 한 physics로 설명이 될 것 같으면서도,

또 어떻게 보면 양자역학 (Quantum Mechanics)가 없으면 설명이 안되는 것 처럼 보이는. 저한테는 정말 이상한 분야이고 그래서 좀 재미있는 것 같습니다. ^^

너무 디테일한 내용은 각설하고, 여기서는 최대한 양자역학의 수식을 의미를 들여다보는 형태로 기술하려고 합니다.

- 초전도: 특정 온도에서 저항이 0이 되는 현상.

- 쿠퍼쌍 (Cooper Pair)로 설명합니다. 여기서 중요한 것은 포논이 매개를 하게 되지요.

- 이 쿠퍼쌍은 두개의 전자로 구성되어있는데, 반대 방향의 스핀, 그리고 반대 방향의 모멘텀을 가지고 있는 전자가 결합을 하고 있는 형태 입니다.

그래서 이 정의를 표현해주는 식이 바로 BCS 식입니다.

뒤쪽 vk 를 보면, 전자 두개 (스핀 방향 반대, 모멘텀 방향 반대) 생성하는 것이죠. 여기서 갯수는 무의미 합니다. 한 상태에 제한 없이 들어갈 수 있는 Boson 이기 때문.

앞쪽 uk는 아무것도 없는 겁니다. 그냥 vacuum 상태 그대로 나오지요.

Nothing + two particles.

<Bogolibov Quasiparticle>

이 녀석이 앞으로 정말 많이 나옵니다. 이 quasiparticle은 superconducting state에서 excited 된 상태 입니다. Cooper pair를 두개로 나누어서 생각한겁니다. 즉 단순히 전자가 아니라, Cooper pair가 될 수 있는 전자로 생각한 것이지요.

Cooper Pair = two Bogolibov Quasiparticles

이걸 잘 뜯어 보면, 앞은 전자, 뒤는 전자를 없애는, 즉 홀 로 표현됩니다. 즉 전자와 홀의 합으로 표현된 것입니다.

이제 이걸 통해서 초전도체를 반도체 처럼 다룰 수 있습니다.

이 Bogolibov Quasiparticle 은, 실제로 문제가 좀 있는데요.

전자를 하나 만들고, 홀을 하나 만드는 형태로 Quasiparticle을 형성하기만 하는 형태로 operator를 구성하면

시스템 내의 입자의 갯수가 보존되지 않는 문제가 생깁니다. 즉, 이 오퍼레이터에 Cooper pair를 없애고, 생성하는 term이 추가 되어야 합니다.

즉, 전자를 생성하면서 (+e), 홀을 생성하고 (-e) 이를 중심으로하는 쿠퍼 쌍 (+e) 을 만드는 것 (1)

전자를 생성하면서 (+e) 이를 중심으로 쿠퍼 쌍을 없애고 (-e), 홀을 생성하는 것 (-e) (2)

각각의 경우에 대해 스핀이 반대 방향인 상태 (3) 그리고 (4).

홀 타입의 creation operator는 pair를 없애고 전자를 생성하는 것에 대응.

<Superconducting gap>

초전도 갭을 표현하는 그림에서 나타나는 것은 single particle, 즉 전자의 DOS 입니다.

갭은 around Fermi surface.

초전도를 깨기 위해서는 에너지가 필요하다. 그것이 gap 이다.

모든 Cooper Pair는 Fermi level (chemical potential)에 condensed 보존으로 있는 거여.

그래서 N,S junction을 만들면, chemical potential에서 부터 +- gap 에너지 만큼 가야 전자가 통해.

하지만, 온도가 높으면 약간의 전자가 위쪽 DOS에 올라가 있는 상태야.

https://topocondmat.org/w2_majorana/signatures.html

<Andreev Reflection>

- 되게 웃긴게, 초전도 ground 상태는 아주 쉽게 wave function 단 한개로 기술됩니다. 그냥 하나로 생각하면 됩니다. All Cooper pair is in the same ground state!

(superfluid pair condensate)

<중요한식>

Hc(T) = Hc(0) [1-(T/Tc)^2] 그냥 쉽게 T가 증가하면 Hc가 감소합니다. 이건 당연하지요. Tc가 되면 Hc는 0가 되어야 하구요.

Penatration depth는 반대 입니다. 이 부분은 제가 다시 한번 설명할게요.

Penetration depth는 초전도가 사라질 수록 커집니다. 즉, 초전도가 사라지면 이 penetration depth 는 infinite가 됩니다. 그냥 다 들어가는 거지요.

Penetration depth와 Coherence length

Penetration depth는 magnetic field가 얼마나 뚫고 들어올 수 있는지를 말합니다.

Pentration depth의 출발은 옴(ohm)의 법칙의 파괴에서 부터 출발합니다.

전자의 운동을 기술하는 Drude model을 생각해보죠 (자유전자, 양이온과의 scattering).

m\frac { dv }{ dt } =eE-\frac { mv }{ \tau }

여기서, E field에 의해 전자가 더 이상 가속되지 않을때 (즉, 일반적인 도체 - 유한한 scattering이 존재하며 이것이 저항)

\frac { mv }{ \tau } =eE (dv/dt = 0)

J=nev=\left( n{ e }^{ 2 }/m \right) E=\sigma E (Ohm's Law)

근데, 초전도가 되면 dv/dt 가 더이상 0이 아닙니다. Scattering time이 무한대가 되니, 우변의 두번째 항은 0이 됩니다. 따라서 Drude model은

d{ v }_{ s }/dt=eE/m

이제 전류도 새롭게 쓰여집니다.

d{ J }_{ s }/dt=\left( { n }_{ s }{ e }^{ 2 }/m \right) E\~ \frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } E

지금 부터 Maxwell 방정식에서 unit conversion에 의한 c 이런 상수들은 다 베재하고 기술합니다.

여기서 중요한건 J에 대한 시간 미분이 E 와 어떤 상수의 곱으로 나타난다는 건데,

여기서 Maxwell equation을 적용합니다.

\nabla \times H=J

\nabla \times E=\frac { dB }{ dt }

이제 식들을 잘~ 합치면,

-\nabla \times \nabla \times E={ \nabla }^{ 2 }E

-\nabla \times \nabla \times E={ \nabla }^{ 2 }E=\frac { E }{ { \lambda }^{ 2 } }

즉 E 는 공간에 대해서 lambda 로 exponentially 감소하는 형태를 가지게 됩니다.

H도 마찬가지에요!

Coherence length는 간단하게 말해 Cooper pair를 형성하는 두 전자 사이의 거리라고 생각할 수 있습니다.

초전도 갭 에너지가 크면, 두 전자는 더욱 tight 하게 bonding하고 있을 것이고 Coherence length는 짧아집니다.

\xi \~ \frac { 1 }{ { \Delta }_{ 0 } }

Coherence length가 길다는 얘기는 다른 외부 자극에 대해서 반응을 크게 느낀다는 얘기가 됩니다.

위키 참고

침투 깊이는 초전도체의 자유에너지를 내리는 역할을 하고 코히런스 길이는 자유에너지를 높이는 역할을 한다. 침투 깊이가 길기 때문에 초전도체-비초전도체 경계면에서 낮은 에너지를 가진다. 이를 음의 벽 에너지(?)(negative wall energy)[15]라고 한다.

이 음의 에너지 때문에 2종 초전도체는 자기장이 있으면 최대한 표면을 많이 만드려고 한다. 최대한 표면이 많아야 초전도체 전체의 자유에너지가 낮아지기 때문이다. 이것이 바로 볼텍스를 만드는 원인. 외부 자기장이 있으면 이라고 표현을 했지만 반드시 외부에서 자기장을 가해 주어야 볼텍스가 생기는 것은 아니다. 전류만 흘려주어도 전류에 의한 자기장이 있고 이는 외부자기장과 같이 행동한다. 이 때의 자기장을 self-field 라고 지칭한다.