Phonon

포논 입니다.

제 지도 교수님이 아주아주 많이 강조하셨던 chapter 중하나였지요. 이 녀석은 실제 고체의 특성들에 다방면으로 영향을 주는 녀석이라고 볼 수 있습니다.

위키피디아에 나오는 포논의 정의는 다음과 같지요.

포논: 응집물질물리학에서 결정 격자의 양자화된 진동을 나타내는 준입자이다. 음향양자는 고체의 열과 전기 전도도 등에 중요한 역할을 하며, 긴 파장의 음향양자는 음파를 생성한다. 음향양자는 계의 고전적 정규 모드(normal mode)의 양자로 생각할 수 있다.

양자화, 준입자, 정규 모드...

자, 쉽게 설명해보겠습니다.

우리가 물을 끓이면 물 분자가 막 진동을 하게 되는 것이지요

액체 상태에서는 물 분자가 자유롭게 이동하고 있습니다. 즉 이는 열적 에너지에 의해 분자들이 고체 처럼 배열을 가지지 못하고 끊어져있는 상태인거지요.

여기 까지 가기 전에도,

고체는 열적 에너지에 의해 내부 원자들이 진동하고 있습니다. 이 진동을 파동으로 표현한 것이 결국 포논 입니다.

반대로 말하면, 이 포논은 고체 내부의 열에너지를 표현하며, 열적 특성을 결정하는 가장 중요한 요소 입니다. (예, 열전도도)

이 포논을 기술하는데에는 '용수철' 에 매달려 진동하고 있는 상태로 모델을 기술합니다. (훅의 법칙, F=kx)

이미 훅의 법칙을 사용하면서 이미 이 상태는 바로 파동으로 표현되게 됩니다. (변위가 파동으로 표현되지요.)

이 용수철 모델로 기술되는 내용의 복잡한 수식은 빼고, 결론만 간단하게 설명합니다.

방정식을 통해서 결국 계산하고자 하는 것은 원자들이 내부에서 어떻게 진동하며, 이 진동이 어떤 w와 k를 가지고 (dispersion relation, 분산관계, w와 k 의 관계) 있는지를 기술하고자 하는 것입니다.

w는 k에 대해 특별한 관계를 가지게 되는데,

w는 k에 대해 sin 함수꼴로 나타나며, 이때 용수철 상수 (C)와 M의 계수 ~ C/M 으로 나타납니다. w 는 에너지에 대응되므로, 즉 에너지와 k의 관계를 나타낸다고 보셔도 무방합니다.

이 역시 앞서 역격자에서 보였드렸던 것 처럼, w-k는 주기성을 가지고 있으며, 따라서 first Brillouin Zone 하나로 대표해서 기술할 수 있습니다.

*First Brillouin Zone은 실공간에서 unit cell과 같은 의미 입니다.

Zone boundary 에서는 정상파, 진행 속도가 0인 형태를 가집니다. 원자들이 그저 위 아래로만 진동하는 형태가 됩니다.

서로 다른 두개의 원자로 구성되어있을때는 이것이 조금 더 복잡해집니다. 진동 모드가 두개가 생겨나는데요,

하나는 optical mode, 또 다른 하나는 acousitic mode 입니다.

여기서 optical mode와 acoustic mode의 가장 큰 차이는, 두 원자가 각각 +, - charge를 가진다고 보았을때 (전기음성도 차이)

진동 모드에 따라서 + -가 한쪽으로 편향되어있는 전기적 field를 내부에 형성할 수 있게 됩니다.

이때 전기장을 형성하는 형태로 구성되는 형태는 electromagnetic wave (light)와 닮았다고 해서, optical mode라고 부른다고 볼 수 있습니다.

또하나,

진행파의 속도는 M의 역수에 비례합니다. 즉, 원자들의 질량이 클수록 포논의 진행속도가 느립니다.

출처: http://users.aber.ac.uk/ruw/teach/334/optacoust.png

이러한 파동은 양자화 되어있는 에너지를 가지게 되며, 이를 입자 처럼 표현합니다. 이것이 이를 포논이라고 부른 이유입니다.

(https://www.youtube.com/watch?v=-gr7KmTOrx0) Standing wave

https://www.youtube.com/watch?v=tlM9vq-bepA Group velocity

https://www.quora.com/What-is-an-intuitive-explanation-behind-why-group-velocity-is-defined-as-the-partial-derivative-of-angular-frequency-over-the-partial-derivative-of-wavenumber

http://physics.gmu.edu/~dmaria/590%20Web%20Page/public_html/qm_topics/phase_vel/phase.html Group velocity

포논 모드

First Bullian zone (가장 파장이 길때. 여기 지나면 다시 돌아오지. 같은거 반복.)