シュレーディンガー作用素に対する散乱理論と量子もつれ 2026年-, 共同研究者 : 藤家 雪朗氏(立命館大学), 樋口 健太氏(岐阜大学)
キーワード : Schrödinger operator, Scattering theory, Scattering matrix, Quantum entanglement, Eigenvalue, Semiclassical analysis.
A collaborative study on mathematics and experiments for bond correction methods via inverse scattering for elastic wave equations 2023-, Collaborator : Steeve Gréaux (Ehime University, GRC)
We consider the impulse response for the 1D wave equation with an inhomogeneous media as an ideal case. In the experimental point of view, this setting corresponds to the case where the pulse is input from the origin and reflected pulses are observed at the origin. For the ideal case, we can get the explicit formula for the reconstruction of the propagation speed of the sample from the measurement of the intensity for the second reflected pulse. For experimental datum, we have to detect the singularity from blurred waves, and have to get the intensity of the second reflected singularity.
This study is a collaboration between the mathematical study of inverse problems on wave equations and the experiments of the ultrasonic interferometry for rocks and metals. We try to compare the mathematical scheme of the inverse problem with real datum of the experiments.
Keyword : Bond correction method, Elastic wave equation, Wave equation, Inhomogeneous media, Inverse scattering problem, Scattering theory, In situ observation, Ultrasonic interferometry.
Articles
H. Morioka and S. Gréaux, Scattering theory for one-dimensional wave equations with thin bond layers, Proceeding of JMM Workshop on Inverse Problem Seminar from Theory to Applications -Finland-Japan Seminar for Inverse Problem-, Josai Mathematical monographs 14 (2025), 123-144.
量子系における共鳴トンネル効果とユニタリ作用素のスペクトル 2020年-, 共同研究者 : 穴原 義弘氏 (元横浜国立大学), 小松 堯氏(横浜国立大学->産業数理研究所Calc->山梨大学), 今野 紀雄氏(横浜国立大学->立命館大学), 樋口 健太氏 (立命館大学->愛媛大学/学振PD->岐阜大学), 瀬川 悦生氏 (横浜国立大学)
1次元の量子系では, 共鳴トンネル効果と呼ばれる現象が知られている (Cheng-Esaki-Tsu, 1974 他). この現象は既に工学的にも応用される段階であり, 量子力学の基本的な現象として認知されている.
一方, 多次元シュレーディンガー方程式の場合には, この種の現象はあまり明らかになっていないようである. 多次元散乱理論において, 共鳴トンネル効果を定式化する方法の一つとして, 入射波に対し, 散乱波が生じない場合とみなすことができる. これは, 数学的には, 多次元シュレーディンガー方程式の散乱理論における共鳴トンネル効果の対応物として, 散乱行列が固有値1を持つ場合であると考えることができる.
別のモデルとして, 量子ウォークにおける共鳴トンネル効果がある (Matsue-Matsuoka-Ogurisu-Segawa, 2018). 量子ウォークは, シュレーディンガー方程式と比べると, 数え上げのような組み合わせ論的方法による具体的な計算が可能であり, 実例をより直接見やすいという利点がある.
本研究では, 1次元系で紹介されたモデル以外の, より広範な量子系において, 共鳴トンネル効果を詳しく調べることを目的とする. あるヒルベルト空間上のユニタリ作用素となる散乱行列のスペクトルを調べることが主要な数学的課題である.
キーワード : Resonant-tunneling effect, Non-scattering energy, Scattering theory, Scattering matrix, Schrödinger operator, Quantum walk, Eigenvalue, Resonance.
関連論文
K. Higuchi, R. Ishikawa, H. Morioka, E. Segawa and E. Yoshimura, Resonant scattering for tunable quantum walks on graphs with tails, J. Phys. A: Math. Theor., 59 (2026), 235201, pp. 1-36.
K. Higuchi and H. Morioka, Complex translation methods and its application to resonances for quantum walks, Rev. Math. Phys., 36 (2024), 2450018, pp. 1-28.
K. Higuchi, H. Morioka and E. Segawa, Resonance expansion for quantum walks and its applications to the long-time behavior, J. Spectr. Theory, 14 (2024), 207-244.
Y. Anahara, N. Konno, H. Morioka, E. Segawa, Comfortable place for quantum walkers on finite path, Quantum Inf. Process., 21 (2022), 242, pp. 1-15.
T. Komatsu, N. Konno, H. Morioka and E. Segawa, Asymptotic properties of generalized eigenfunctions for multi-dimensional quantum walks, Ann. Henri Poincaré, 23 (2022), 1693-1724.
T. Komatsu, N. Konno, H. Morioka and E. Segawa, Generalized eigenfunctions for quantum walks via path counting approach, Rev. Math. Phys., 33 (2021), 2150019, pp. 1-24.
K. Higuchi, T Komatsu, N. Konno, H. Morioka and E. Segawa, A discontinuity of the energy of quantum walk in impurities, Symmetry, 13 (2021), 1134, pp. 1-15.
摂動を含む量子ウォークとスペクトル・散乱理論 2017年-2020年, 共同研究者 : 小松 堯氏(横浜国立大学), 今野 紀雄氏(横浜国立大学), 瀬川 悦生氏 (横浜国立大学)
グラフ特に平行移動周期性を持つ格子上でのセゲディー型, グローヴァー型量子ウォークなど, 基本的な量子ウォークに対するスペクトル・散乱理論の観点からの研究を行う.
最近までに, 量子ウォークの弱収束極限, 量子ウォーカーの局在化などと, 時間発展作用素のスペクトル・散乱理論が対応していることが明らかになってきている.
また, 各量子ウォークに対応する古典的ランダムウォークに付随する離散ラプラシアンのスペクトルがある写像により関連していることも明らかになっている.
本研究では, これまで離散ラプラシアンとその摂動に対して解明してきたレリッヒ型定理の視点からこの方向性をさらに展開させたうえで, Suzuki(2016)によって定義, 研究された量子ウォークの波動作用素に対応する散乱行列の研究を一般化固有関数の観点で推し進める.
可能であれば, 各格子に対応して, 弱収束極限で現れるであろう今野関数に関する研究も行いたい.
キーワード : Quantum walk, Rellich type theorem, Scattering theory, Scattering operator, S-matrix, Lattice, Eigenvalue, Localization.
関連論文
H. Morioka and E. Segawa, Detection of edge defects by embedded eigenvalues of quantum walks, Quantum Inf. Process., 18 (2019), Article No. 283, pp. 1-18.
H. Morioka, Generalized eigenfunctions and scattering matrices for position-dependent quantum walks, Rev. Math. Phys., 31 (2019), Article No. 1950019, pp. 1-37.
長距離型ポテンシャルを持つ離散シュレディンガー作用素の埋蔵固有値 2017年-(一部保留中, 今後の展開を検討中)
レリッヒ型定理により, 台が有限個の場合に埋蔵固有値の非存在を既に示したが, 台が無限個の場合には同様の結論が得られていなかった.
本研究では, 長距離型ポテンシャルを持つ離散シュレディンガー作用素に対して, 埋蔵固有値の非存在を証明する.
証明の鍵となるのはムーレの不等式である. (長距離型のみならず, 多項式的速さで減衰するポテンシャルについては, 離散化により発生するらしい本質的な困難が分かってきたので当面結論を保留する予定.)
また, さらに特殊な場合として指数減衰するポテンシャルも考える.
この場合には, 長距離型や短距離型の場合と異なり, ペイリー・ウィナーの定理が使える. そのため, 台有限個の場合の類似で複素解析が使えるので, 長距離型の場合よりも少し良い結果が得られる.
キーワード : Discrete Schrödinger operator, Eigenvalue, embedded eigenvalue, Mourre's inequality, Long-range perturbation.
非コンパクト多様体におけるシュレディンガー方程式及び音響波動方程式と非散乱エネルギー 2015年-2019年, 共同研究者 : 庄司 直高氏 (TECNOSデータサイエンスエンジニアリング)
共鳴トンネル効果のように, 摂動に対して入射波が完全透過する現象は, シュレディンガー方程式における散乱理論では``非散乱エネルギー", すなわち散乱行列の固有値1として定式化できるが, 多次元の場合には, 数学的にこの存在を議論するのは非自明な問題である.
音響波動方程式では, 逆散乱問題の観点から, 有限な領域で不均質媒質である場合に同様の定式化での研究がなされている.
この場合, 有界領域における透過固有値問題(interior transmission eigenvalue problems)に帰着できるが, 散乱理論との関連については, 極めて制限された状況でしか分かっておらず, また技術的な困難も多いようである.
また, 有界領域における透過固有値問題自体も, まだまだ未解明な部分が多く残る問題である.
以上のような現状認識から, 散乱理論の文脈においては, 古くて新しい研究課題であると考えている.
そこで, 本研究では, 非コンパクトな多様体における, シュレディンガー方程式及び音響波動方程式の散乱理論における非散乱エネルギーについて理論的に明らかにすることを目標とする.
キーワード : Transmission eigenvalue problem, Non-scattering energy, Scattering theory, S-matrix, Spectral theory, Laplace operator, Schrödinger operator, Dirichlet-to-Neumann map.
関連論文
H. Morioka and N. Shoji, Non-scattering energies for acoustic-type equations on manifolds with a single flat end, J. Math. Phys., 61 (2020), 011511.
格子上の離散シュレディンガー作用素の逆散乱問題 2014年-2019年, 共同研究者 : 安藤 和典氏(愛媛大学), 磯崎 洋氏(筑波大学名誉教授), Evgeny Korotyaev氏(St-Pertersburg Univ.)
正方格子, 六角格子, カゴメ格子, グラファイト格子など, ある種の平行移動周期的なグラフ上の離散シュレディンガー作用素に対して, 逆散乱問題を示す.
本研究では, 与えられた散乱行列から, (1) 有限個の台を持つポテンシャル, (2) 有限回の変形を行ったグラフの摂動, を再構成する手続きを与えることを目標とする.
証明には, 電気回路の理論を援用できる.
磁場付きシュレディンガー作用素の場合にも同様の問題が考えられる.
キーワード : Scattering theory, Spectral theory, Laplace operator, Schrödinger operator, Magnetic Laplacian, Lattice, Inverse scattering problem, Inverse boundary value problem, Dirichlet-to-Neumann map, S-matrix, Resistor network.
関連論文
K. Ando, H. Isozaki, E. Korotyaev and H. Morioka, Inverse scattering on the quantum graph - edge model for graphen, preprint.
K. Ando, H. Isozaki and H. Morioka, Inverse scattering for Schrödinger operators on perturbed lattices, Ann. Henri Poincaré, 19 (2018), 3397–3455.
格子上の離散シュレディンガー作用素のスペクトル・散乱理論 2013年-2015年, 共同研究者 : 安藤 和典氏(Inha Univ.), 磯崎 洋氏(筑波大学)
正方格子, 六角格子, カゴメ格子, グラファイト格子など, ある種の平行移動周期的なグラフ上の離散シュレディンガー作用素に対して, 連続スペクトルの構造と散乱理論を示す.
本研究では, レリッヒ型定理をさらに一般化し, その系として, 一定の条件のもとで, 連続スペクトルに埋蔵された固有値の非存在を証明した.
さらに, 存在する場合の例も構成した.
キーワード : Scattering theory, Spectral theory, Laplace operator, Schrödinger operator, Lattice, Rellich type theorem.
関連論文
K. Ando, H. Isozaki and H. Morioka, A remark on the absence of eigenvalues in continuous spectra for discrete Schrödinger operators on periodic lattices, Funkcialaj Ekvacioj, to appear.
K. Ando, H. Isozaki and H. Morioka, Spectral properties of Schrödinger operators on perturbed lattices, Ann. Henri Poincaré, 17 (2016), 2103-2171.
正方格子上のスペクトル・散乱理論と逆問題 2011年-2013年, 共同研究者 : 磯崎 洋氏(筑波大学)
正方格子上の離散シュレディンガー作用素のスペクトル理論と散乱理論, 及びその逆問題を示す.
逆問題の準備として, 連続スペクトルに埋蔵された固有値の非存在と, 放射条件を満たす散乱波の一意性の証明を行った.
これは基本的であるにも関わらず, 離散化された作用素に対しては対応物がなかったが, レリッヒ型一意性定理の離散化を証明したことで打開した.
逆問題の証明には, 電気回路の理論を応用した.
キーワード : Scattering theory, Spectral theory, Laplace operator, Schrödinger operator, Lattice, Inverse scattering problem, Inverse boundary value problem, Dirichlet-to-Neumann map, S-matrix, Rellich type theorem, Resistor network.
関連論文
H. Isozaki and H. Morioka, Inverse scattering at a fixed energy for discrete Schrödinger operators on the square lattice, Ann. Inst. Fourier, 65 (2015), 1153-1200.
H. Isozaki and H. Morioka, A Rellich type theorem for discrete Schrödinger operators, Inverse Problems and Imaging, 8 (2014), 475-489.
H. Morioka, Inverse boundary value problems for discrete Schrödinger operators on the multi-dimensional square lattice, Inverse Problems and Imaging, 5 (2011), 715-730.