Задание 16

Теория

Перевод в системы счисления.

Пример задания.

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:

8¹⁶+ 2⁵² -15 ?

Для решения этого задания необходимо привести основания степеней к одному виду:

8¹⁶=2⁴⁸

Получаем:

2⁴⁸+ 2⁵² -15

Из теории систем счисления мы знаем, что 2ⁿ - это единица и n нулей.

То есть 2⁴⁸+ 2⁵² - это две единицы и 52 нуля.

Теперь вспомним про вычитание в двоичной системе. Переведем 15 в двоичную систему: 15₁₀=1111₂

Так как ближайшая единица стоит на 49-ом месте, то получаем, что после занятия для вычитания пятнадцати на этом месте будет стоять 0, а вот все остальные, 48,47 и т.д. превратятся в единицы, а последний, самый младший разряд в 10.

При вычитании получим:

. 1 ..... 1 1 1 10

_1....... 0 0 0 0

1 1 1 1

..011..1 0 0 0 1

Итак, получается, что 48 единиц - 3 нуля и плюс 1 единица в самом начале числа:

48-3+1=46

Ответ 46

Пример задания.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.

Так как запись числа должна оканчиваться на 4, получаем, что остаток от деления 32 на основание системы счисления (СС) должно равняться 4 (см. теорию)

32-4=28

То есть искомые СС должны быть делителями числа 28, причем, основания должны быть больше 4 (иначе в остатке 4 не получится). Таким образом нужные нам СС - делители числа 28, большие 4:

7, 14, 28

Ответ: 7, 14, 28.

Пример задания.

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 70 имеет ровно 3 значащих разряда.

Чтобы получилось 3 значащих разряда необходимо

abc_x=a*x²+b*x¹+c*x⁰=70

Так как мы ищем наименьшее основание, то будем рассматривать такие abc, которые будут максимальными - x-1

abc_x=(x-1)*x²+(x-1)*x¹+(x-1)*x⁰=x³-1

x³-1=70

x³=71

Нам необходимо найти равное или ближайшее большее число х, удовлетворяющее условию. это число 5:

5³=125

Можно проверить так 70 в 4-ой СС 1012, в 5-ой 240

Ответ 5.