Теория
Перевод в системы счисления.
Вычитание в двоичной системе счисления. Правила вычитания: 0-0=0
1-0=1
1-1=0
10-1=0
. 1 1 10
_1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1
1 0 0
Пример задания.
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:
816+ 252 -15 ?
Для решения этого задания необходимо привести основания степеней к одному виду:
816=248
Получаем:
248+ 252 -15
Из теории систем счисления мы знаем, что 2n - это единица и n нулей.
То есть 248+ 252 - это две единицы и 52 нуля.
Теперь вспомним про вычитание в двоичной системе. Переведем 15 в двоичную систему: 1510=11112
Так как ближайшая единица стоит на 49-ом месте, то получаем, что после занятия для вычитания пятнадцати на этом месте будет стоять 0, а вот все остальные, 48,47 и т.д. превратятся в единицы, а последний, самый младший разряд в 10.
При вычитании получим:
. 1 ..... 1 1 1 10
_1....... 0 0 0 0
1 1 1 1
..011..1 0 0 0 1
Итак, получается, что 48 единиц - 3 нуля и плюс 1 единица в самом начале числа:
48-3+1=46
Ответ 46
Пример задания.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.
Так как запись числа должна оканчиваться на 4, получаем, что остаток от деления 32 на основание системы счисления (СС) должно равняться 4 (см. теорию)
32-4=28
То есть искомые СС должны быть делителями числа 28, причем, основания должны быть больше 4 (иначе в остатке 4 не получится). Таким образом нужные нам СС - делители числа 28, большие 4:
7, 14, 28
Ответ: 7, 14, 28.
Пример задания.
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 70 имеет ровно 3 значащих разряда.
Чтобы получилось 3 значащих разряда необходимо
abcx=a*x2+b*x1+c*x0=70
Так как мы ищем наименьшее основание, то будем рассматривать такие abc, которые будут максимальными - x-1
abcx=(x-1)*x2+(x-1)*x1+(x-1)*x0=x3-1
x3-1=70
x3=71
Нам необходимо найти равное или ближайшее большее число х, удовлетворяющее условию. это число 5:
53=125
Можно проверить так 70 в 4-ой СС 1012, в 5-ой 240
Ответ 5.