Теория.
Первое задание направлено на знание систем счисления.
Кроме базовых знаний - перевод, пригодятся небольшие "ускорители", именно про них и пойдет речь.
Типы заданий:
Десятичная система.
Пример задания.Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?
Можно, конечно, переводить число, однако это займет слишком много времени. Достаточно вспомнить двоичный ряд :
210=21=102
410=22=1002
810=23=10002
1610=24=100002
3210=25=1000002
…
51210=29=10000000002
Несложно заметить, что степень двойки указывает на количество нулей после единицы (24 - это единица и четыре нуля). Теперь подумаем ка образовалось число 519 с точки зрения перевода в двоичную систему (ссылка для тех, кто забыл как это):
512+4+2+1
Каждое число из данной суммы даст нам единицу (замечу, что нам нет никакой разницы где же стоят эти единицы), таким образом, получаем всего 4 слагаемых=4 единицы.
Ответ 4.
Пример задания.Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 1017?
Здесь предыдущий метод не совсем подойдет, быстрее перевести будет. Однако, можно модифицировать предыдущий метод. Ближайшее число к 1017 из двоичного ряда - это 1024, которое меньше нашего. Однако, вспоминая перевод, заметим ещё одну особенность:
310=112
710=1112
1510=11112
3110=111112
....
51110=1111111112
Числа на 1 меньше чисел из двоичного ряда состоят только из единиц, причем этих единиц будет ровно столько, какая степень двойки у большего числа из двоичного ряда (512 это 2 в 9, а 511 - 9 единиц). Применим наш метод в обратную сторону:
сколько 1017 не хватает до 1023?
1017=1023-4-2
То есть на месте 4 и 2 будут стоять нули, так как их нет в числе 1017. Поэтому получаем 10-2=8 единиц в числе 1017
Ответ 8.
Восьмеричная система.
Пример задания.Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 1453?
Как я уже говорила простой перевод займет слишком много времени.
Здесь сработает ускоренный перевод.
Возьмем число 11101000102
Для перевода в 8-ую систему разбиваем число на тройки(8=23), начиная с конца:
1 110 100 010
и теперь каждую из триад просто переводим, получаем
1 6 4 2
это и есть нужное нам число в восьмеричной системе.
Аналогично для шестнадцатеричной, не забывая, что теперь число нужно разбить на четверки (16=24):
11 1010 0010
также переводим, и получаем:
3 10 2
10 в шестнадцатеричной системе это А, то есть
11101000102=16428=3А216
В нашем случае способ применим в обратную сторону:
1 4 5 3
1 100 101 11
Получаем 6 единиц.
Ответ 6.
Подсказка. В принципе, нет нужны полностью переводить число достаточно вспомнить количество единиц в каждой цифре.
Аналогично выполняется задание и с шестнадцатеричной системе счисления.
Пример задания. Во сколько раз 348 меньше 34008? Ответ в десятичной системе счисления.
Нетрудно заметить, что разница между этими числами составляет 1008
А дальше либо переводим это число в десятичную, либо вспоминаем, что нули на конце по правилам перевода означают, что число делится на основание системы счисления без остатка, то есть два нуля на конце означают что число делилось на 8 дважды, получаем 8*8=64
Ответ 64.
Пример задания.Даны 4 шестнадцатеричных чисел В5, 9F, AC, C1. Сколько среди них чисел, меньших чем 2568?
Через способ, описанный в самом начале (разбиение числа) перевод число из 8-ой в 16-ую:
2 5 6
10 101 110
и второе число:
1010 1110
А Е
И теперь просто ищем те числа, которые меньше полученного АЕ.
(Естественно, что больше цифра разряда, тем число больше, например В6 больше, чем А6 и В2 больше В0).
Получаем, что таких только два - 9F, AC.
Ответ 2.
Пример задания. Число Х в 16-ой системе счисления оканчивается на 9, а в восьмеричной на 23. Укажите это число в 10-ой системе.
Если число оканчивается на 9 в шестнадцатеричной, это говорит нам, что в десятичной это число было 9*16+Y=144+Y (см. сюда)
Y - это вторая часть неизвестного нам шестнадцатеричного числа - остаток от деления на 16
Теперь посмотрим на 23, это число говорит нам, что остаток от деления на 8 равен 3, а результат 2.
То есть остаток 3 и есть Y, получаем:
144+3=147.
Проверяем:
_147|8
144|18|8
3 16|2
2
Окончание числа 23.
Ответ 147.
Пример задания. Сколько чисел находится между 2758 и 3048?
Необходимо узнать разницу между этими двумя числами, эта разница минус 1 и будет являться количеством чисел между ними. Например, 16-10=6, а чисел 5 (11,12,13,14,15).
Поэтому просто вычитаем, не забывая, что мы находимся в 8-ой системе счисления:
. 7 8
_304
275
007
Получаем 6 чисел.
Подсказка. Если мы говорим о 10-ой системе, то при занятии на младший разряд прибавляется 10, на последующие старшие (если там были нули) по 9. Эта 10 взялась не просто так - это основанием системы счисления, поэтому говоря про 8-ую добавляем 8, в последующие с нулями по 7, если шестнадцатеричная система то добавляем 16 и 15 соответственно.
Ответ 6.