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Los aspectos de forma entre dos figuras geométricas, se pueden comparar estableciendo diferentes premisas:
- Igualdad: Las figuras geométricas tienen la misma medida de lados y ángulos. Áreas iguales.
- Semejanza: Las figuras geométricas tienen la misma medida de ángulos pero no de los lados. Áreas diferentes. La semejanza está relacionada con las escalas y la razón.
- Equivalencia: Las figuras son diferentes en aspecto, ángulos y lados, pero tienen la misma área o superficie.
La relación puede medirse o comprobarse mediante operaciones matemáticas/geométricas. Estas operaciones geométricas, se estudiarán con mayor profundidad en la UD 7: Transformaciones geométricas. No obstante, se inician o introducen algunas de ellas en los ejercicios constructivos.
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6.1. Igualdad
6.1. Igualdad
6.2. Semejanza
6.2. Semejanza
Varias formas son iguales pero tienen diferente tamaño. Están relacionadas entre sí mediante una proporción.
6.3. Escalas y razón.
6.3. Escalas y razón.
A) Una escala es la relación matemática entre una forma construida o dibujada en un soporte, representando una forma real (E=tamaño del dibujo / tamaño real). Es decir, una reproducción puede representar una forma de la realidad de forma disminuida, de forma aumentada o de igual medida o natural. La propiedad de la semejanza anteriormente explicada, tiene asociada una relación de tamaño o escala, entre las figuras representadas. También es necesario recordar, que las escalas y la semejanza entre figuras, se relacionan geométricamente mediante la proporcionalidad del teorema de Tales.
- Escala de reducción => E=tamaño del dibujo / tamaño real => El resultado es menor que la unidad (<1)
- Escala de ampliación => E=tamaño del dibujo / tamaño real => El resultado es mayor que la unidad (>1)
- Escala natural => E=tamaño del dibujo / tamaño real => El resultado es igual a la unidad (=1)
La escala de reducción se usa en topografía, arquitectura, industria pesada, etc. (ej.-> 1:100 - 1:1000 - 1:10000)
La escala de ampliación se usa en ciencias de estudios microscópicos: medicina, biología, química, etc.: (ej.-> 10:1 - 100:1 - 500:10 - 50:10)
La escala natural o real se usa en la representación de las formas tal cual las vemos: diseño, arte, etc.
Aunque la relación mediante fracción puede tener cualquier valor, el uso de dichas escalas se ha normalizado en unos valores estandarizados para su utilización. El resultado de la fracción de una escala se llama también razón.
Para repasar contenidos teóricos sobre escalas conviene visitar el enlace siguiente de J. A. Cuadrado Vicente
Los siguientes ejemplos muestran distintos ejemplos de escalas:
- Las maquetas están realizadas con escalas reducidas de la realidad.
- Las fotografías de los ojos de los insectos están ampliadas para ver mejor los detalles.
B) La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se compara cuántas veces contiene una a la otra. Está incorporada en la semejanza y la escala (homotecia), se tratará con mayor profundidad en la ud 7 transformaciones en el plano
Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y». El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.
Ejemplo
18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.
Ejemplos de progresiones geométricas. Se trataron en los trazados fundamentales (tercera proporcional)
- La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
- La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
- La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
- Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7.
C) Razón sobre segmentos orientados. También se llama razón a la existente entre los puntos alineados sobre una recta o los segmentos ubicados en ella. Esta razón puede ser simple o doble.
- Concepto de segmentos orientados. Atendiendo a su designación por sus puntos extremos: Un segmento es positivo cuando su denominación alfabética es creciente (AB). Es negativo cuando su denominación alfabética es decreciente (CB)
- Se llama razón simple de tres puntos alineados A, B y C y se nota (ABC) a la siguiente igualdad: (ABC) = AB/AC=m/n, siendo AB y AC segmentos orientados. La razón simple puede ser positiva o negativa en función de la notación.
- Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D y se nota (ABCD) a la siguiente igualdad: (ABCD)= (ACD)/(BCD)=(AC/AD):(BC/BD)=(m/n):(l/p). Donde AC, AC, BC y BD son segmentos orientados en la misma recta. La razón doble también puede ser positiva o negativa.
Cuando la razón doble es -1 , se denomina cuarteta armónica.
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