Elementos de los polígonos.

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5.1. Triángulos.

También llamados triláteros (3 lados). Primera y mínima posibilidad de abarcar el espacio plano euclidiano. Consta de tres vértices no alineados. En cada uno de ellos se unen dos lados. Tiene muchos usos, utilidades y características geométricas. Es con diferencia, la figura geométrica más estudiada, teorizada y sobre la que más situaciones y teoremas se han desarrollado.

Propiedades

• La suma de sus ángulos es 180º.
• La notación de sus elementos sigue un sentido antihorario y se usa la misma letra para vértice y lado opuesto (A,a) (B,b) (C,c). Aunque puede usarse la notación normal consecutiva.
• Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• A mayor ángulo se opone mayor lado.

Construcciones.

5.2. Cuadriláteros.

Polígono que consta de 4 lados que se cortan dos a dos en 4 vértices. Consta de diagonales, que son las rectas que unen dos vértices no consecutivos. Las diagonales dividen al cuadrilátero en dos triángulos.

Propiedades

• La suma de sus ángulos es 360º
• La notación de sus elementos es antihoraria, siendo consecutiva en orden los vértices junto con los lados.
• Los puntos medios de sus lados forman un paralelogramo (cuadrilátero con lados paralelos dos a dos)
• Algunos cuadriláteros pueden ser circunscritos por una circunferencia o tener una circunscrita.
• Los cuadriláteros son deformables. Es decir, las mismas dimensiones de lados pueden originar figuras diferentes.

Construcciones.

5.3. Polígonos regulares.

Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Tienen la propiedad de ser inscritos y circunscritos en una circunferencia. Su uso en diseños arquitectónicos ha sido muy prolífica.

Propiedades

• La suma de sus ángulos es 360º
• La notación de sus elementos es antihoraria, siendo consecutiva en orden los vértices junto con los lados.
• Los punto medios de sus lados forman otro polígono regular semejante más pequeño.
• Pueden dar origen a polígonos estrellados prolongando sus lados y ángulos exteriores.

Construcciones.

5.4. Polígonos estrellados

Son aquellos polígonos que se obtienen a partir de algunos polígonos regulares. También tienen la propiedad de ser inscritos en una circunferencia. Su construcción obedece a una premisa matemática.

Los polígonos estrellados se obtienen uniendo de forma constante y alterna no consecutiva, los vértices de los polígonos regulares (diagonales). Otra forma de obtener estrellas es prolongando sus lados hacia el exterior. En función del número de vértices que tenga el polígono regular no estrellado, se podrán obtener ninguno, uno o varios polígonos estrellados.

Un estrella se define por la fracción matemática siguiente (n/m), donde 'n' es el número de vértices del polígono y 'm' es el paso entre las puntas de la estrella distinto a '1', puesto que el paso '1' es la propia figura poligonal.

Para saber el número de estrellas posibles que se pueden obtener en un polígono, se emplea la siguiente solución: números enteros menores de la mitad de los vértices (n/2), que no sean submúltiplos de dichos vértices y excluyendo al '1'. El resultado indica el número de pasos (m) de la estrella.

Se denominan falsas estrellas a las producidas por los vértices de los polígonos regulares inscritos en el polígono original. Son el resultado de los números enteros múltiplos de los vértices.

Ejemplos:

• Polígono de 11 vértices => 11/2=5'5 => 5, 4, 3, 2 => (4 estrellas: pasos 5, 4, 3 y 2 respectivamente)
• Polígono de 12 vértices => 12/2=6 => 5 (1 estrella de paso 5) => 4, 3, 2 (3 falsas estrellas de pasos 4, 3 y 2)
• Polígono de 7 vértices =>7/2= 3'3 => 3 y 2 (2 estrellas: pasos 3 y 2)
• Polígono de 9 vértices =>9/2= 4'5 => 4 y 2 (2 estrellas: pasos 4 y 2) => 3 (1 falsa estrella de paso 3)

Construcciones.