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Dieses Kapitel ist mathematisch anspruchsvoll. Deshalb hier eine Version ohne mathematische Formeln.
Einleitung
Einleitung
Wir unterscheiden hier zwischen dem autonomen Fahrrad (Abschnitt 8) das auch ohne Einwirkung des Fahrers stabil fährt und dem eigentlichen Freihandfahren, bei dem eine Einflussnahme des Fahrers erforderlich ist.
In der Literatur finden sich kaum mathematische Modelle des Freihandfahrens. Oft geht man davon aus, dass das autonome Fahrrad ein taugliches Modell für Freihandfahren darstellt. In diesem Modell ist das Fahrrad intrinsisch stabil. Alles was der Fahrer zu tun hat ist in die Pedale zu treten und die Stabilität nicht zu stören. Dies ist weit entfernt von der Realität. Das autonome Fahrrad wird oberhalb 20 km/h instabil gegen Kippen. Freihandfahren ist jedoch auch oberhalb 20 km/h ohne weiteres möglich. Dies beweist, dass der Fahrer beim Freihandfahren eine aktive Rolle spielen muss. Beim normalen Fahrradfahren wird das Fahrrad durch die Hand am Lenker kontrolliert. Hier wird gezeigt, dass beim Freihandfahren die Kontrolle über die Rahmenkippung erfolgt.
Auch unter Einschluss der Rolle des Fahrers bildet die Physik des autonomen Fahrrads die Basis für das Freihandfahren. Um dieses Kapitel zu verstehen, ist ein Studium des Kapitels 08 Autonomes Fahrrad eine Voraussetzung.
Der Regelkreis beim Freihandfahren
Der Regelkreis beim Freihandfahren
Zu den Transferfunktionen des Lenkers L(s) und des Schwerpunkts S(s) im Regelkreis (siehe Kapitel 8 "Autonomes Fahrrad") kommt beim Freihandfahren eine weitere dazu. Die Transferfunktion C(s) steht für den Einfluss des Fahrers. Der Input für den Fahrer ist der gestörte Kippwinkel des Schwerpunkts Θs. Das Ziel ist, diesen auf den Wert Null zu regeln. Dies geschieht über den Rahmenkippwinkel θr . Der Rahmenkippwinkel steuert über L(s) die Lenkerdrehung σ.
Bild F1:
Freihandfahren als geschlossenes Regelsystem.
Der Input des Systems ist die Summe aus Störung ε(s) und Schwerpunktkippung θs(s). Der Fahrer reagiert darauf mit der Transferfunktion C(s). Deren Output ist die Rahmenkippung θr(s). Sie erzeugt über die Transferfunktion L(s) eine Lenkerdrehung σ(s). Diese wiederum bewirkt über die Transferfunktion S(s) eine Schwerpunktkippung. Das Ziel der Regelung ist, die Störung ε(s) zu eliminieren.
Wie die Transferfunktionen definiert sind und was die Variable s bedeutet, muss uns im Moment noch nicht kümmern. Siehe dazu den Abschnitt "Autonomes Fahrrad". Es genügt zu wissen, dass die Transferfunktion einer Regelkette gleich dem Produkt der einzelnen Transferfunktionen in der Regelkette ist.
Aus dem Bild oben lassen sich leicht die Gleichungen herleiten:
Nach ε(s) aufgelöst:
Besteht die Störung aus einem Dirac Puls, dann gilt ε(s) = 1, denn 1 ist die Laplace Transformierte des Dirac Pulses. G(s) ist folglich die Laplace Transformierte der Impulsantwort auf einen Dirac Puls. Falls die Lösungen von 1 - Gloop(s) = 0 auf der linken Halbebene liegen oder negativ und reell sind, klingt die Impulsantwort ab, das System ist stabil.
In Abschnitt 8 Autonomes Fahrrad ist Gloop(0) als Funktion der Geschwindigkeit dargestellt. Oberhalb 20 km/h sinkt Gloop(0) unterhalb 1. Da S(s) eine Unendlichkeitsstelle bei s = Wurzel(g/H) besitzt, weist 1 - Gloop(s) eine positive reelle Lösung auf, das System kippt. Dies lässt sich leicht vermeiden, wenn der Fahrer die Rahmenkippung θr gegenüber der Kippung des Schwerpunkts θs verstärkt. Ein konstantes C(s) = C = θr/ θs > 1/Gloop(0) genügt, um das System im ganzen Geschwindigkeitsbereich oberhalb 20 km/h gegen Kippen stabil zu machen. Damit sind jedoch oszillatorische Instabilitäten nicht ausgeschlossen.
Praktisch bedeutet dies, dass der Fahrer oberhalb 20 km/h das Fahrrad gegen Kippen stabilisieren kann, wenn er bei einer Störung den Rahmenkippwinkel gegenüber dem Schwerpunktkippwinkel erhöht. Da das System nur schwach instabil ist, genügt bereits ein Verhältnis C = 1.1.
Bild F2
Minimales Verhältnis zwischen Kippwinkel Rahmen und Kippwinkel Schwerpunkt um Stabilität gegen Kippen zu erreichen. Die rote Kurve entspricht einem Gegenkopplungsfaktor von 1, d.h. einem indifferenten Gleichgewicht. Ein grösseres Verhältnis richtet das Fahrrad auf und führt es in eine Geradeausfahrt über.
Der Fahrer muss eine Rahmenkippung wählen, die mindestens so gross ist, wie in Bild F2 gezeigt. Je grösser die Rahmenkippung, das heisst je grösser die Gegenkopplung, desto stabiler ist ist das System gegen Kippen, aber desto grösser ist auch die Gefahr von anwachsenden Oszillationen. Oberhalb von 20 km/h muss der Rahmen stärker gekippt werden als der Schwerpunkt, um eine genügend grosse Gegenkopplung zu erreichen.
Wählt man als Beispiel C(s) = C(0) = 1.1 und eine Dämpfung im Lenkersystem von λ = 0.25 kgm2sec-1 entsprechend einer Zeitkonstante Js/λ von 0.5 sec, so erweist sich das System bei jeder Geschwindigkeit oberhalb 10 km/h als stabil sowohl gegen Kippen, wie auch gegen unbegrenzt anwachsende Oszillationen. Bis knapp 30 km/h klingt die Stossantwort als gedämpfte Schwingung ab, oberhalb als exponentieller Abfall (Bild F3).
Bild F3
Eigenwerte für das durch den Fahrer aktiv stabilisierte Fahrrad beim Freihandfahren. Der Fahrer wählt bei jeder Geschwindigkeit eine Rahmenkippung die 10% höher liegt als für passives Gleichgewicht (rote Kurve in Bild F2) erforderlich. Die Dämpfungskonstante beträgt λ/2Js = 0.5 sec-1. Der Imaginärteil der blauen Kurve bezieht sich auf die Skala rechts und ist durch identische Werte mit umgekehrtem Vorzeichen zu ergänzen.
Der negative Realteil in Bild F3 entspricht einer Abklingrate der Schwingung und der Imaginärteil der Kreisfrequenz der Schwingung. Bild F3 zeigt, dass unterhalb von knapp 30 km/h zwei je konjugiert komplexe Lösungspaare existieren. Die eine Schwingung (blaue Kurve) weist eine sehr hohe Oszillationsfrequenz auf (bitte beachten, dass für diese Kurve die Skala rechts gilt). Bei etwa 30 km/h spaltet die konjugiert komplexe rote Lösung in zwei reelle Lösungen auf. Oberhalb 30 km/h tritt deshalb in der Stossantwort kein Überschwingen der Schwerpunktkippung mehr auf. Das System ist im ganzen Geschwindigkeitsbereich stabil. Die hochfrequenten Schwingungen (Imaginärteil der blauen Kurve) sind Artefakte. Der Körper des Fahrers dämpft hochfrequente Schwingungen.
Bild F4
Stabilitätsdiagramm beim Freihandfahren für ein statisches Kippwinkelverhältnis.
Das Bild F4 rechts zeigt das Stabilitätsdiagramm für ein System mit einer Abklingzeitkonstante von 0.5 sec in den Lenkergleichung als Funktion des statischen Kippwinkelverhältnis. Unterhalb 10 km/h ist stabiles Verhalten nur sehr bedingt zu erreichen und nur, indem der Rahmen deutlich weniger gekippt wird als der Schwerpunkt.
Die Annahme eines konstanten Verhältnis C ist jedoch nicht besonders realistisch. Freihandfahren bedeutet fast immer Geradeausfahren. Nominell gilt deshalb θs = 0, das Verhältnis C = θr/ θs ist gar nicht definiert. Abweichungen von θs = 0 treten einzig in Störungen auf. Diese passieren laufend auf und müssen ausgeglichen werden. Ein Fahrer ist kein perfekter Regler, er reagiert auf Abweichungen vom Sollwert mit einer Verzögerung.
Ein realistisches Modell des Freihandfahrens muss die Verzögerung berücksichtigen. Ein einfaches Modell zum Abbilden einer Verzögerung ist die Faltung der unverzögerten Zeitfunktion mit einer Memory Funktion der Form exp(-t/τm). τm ist die charakteristische Verzögerungszeit, d.h. die Reaktionszeit des Fahrers. Im Modell wird angenommen, dass das System Fahrer – Rahmen auf einen Impulsstoss zunächst starr reagiert (θr/ θs = 1). Erst im Verlauf einer Reaktionszeit τm gelingt es dem Fahrer das angestrebte Verhältnis einzustellen.
Für t << τm gilt θr/ θs = 1, für t >> τm gilt θr/ θs = C. Innerhalb der charaktistischen Zeit τm geht der Fahrer über von der statischen Kopplung θr/ θs = 1 zu einem erhöhten Rahmenkippwinkel mit θr/ θs = 1.2. Die offene Frage ist, ob dies schnell genug ist, um Stabilität zu erreichen, resp. welches der maximale Wert von τ ist, bei dem das System noch stabil ist.
Die Faltung zweier Funktionen f1(t) und f2(t) führt im Bildbereich zu einem Produkt F1(s)xF2(s). Die Laplace transformierte von exp(-t/τm) lautet τm/(s.τm +1). Damit wird die Transferfunktion C(s):
Für grosse Werte von s, entsprechend kurzen Zeiten, gilt C(s) = 1, für kleine s, d.h. langen Zeiten gilt C(s) = C.
Das Lösen der Eigenwertgleichung unter Einschluss der Memory Funktion erfordert das Lösen eines Polynoms 5. Grades. Einfacher gestattet sich die Diskussion der Stabilität anhand eines Nyquist Diagramms (Siehe Kapitel 8, "Autonomes Fahrrad"). Bild F5 zeigt in der y-Achse Im(F(iω)), in der x-Achse Re(F(iω)) mit F(s) = 1 – Gloop(s).
Bild F5
Detail des Nyquist Diagramms des geregelten Fahrrads bei 30 km/h und C = 1.2. Die vertikale Achse zeigt den Imaginärteil, die horizontale Achse den Realteil von F(iω). Die Kurven sind symmetrisch in Bezug auf iω = 0 und starten bei iω = -∞ rechts unten. Das System ist stabil, wenn die Kurve den Ursprung einmal umschliesst.
Bei 30 km/h ist das autonome Fahrrad instabil. Die gestrichelte Kurve in Bild F5 umschliesst den Ursprung nicht. F(0) liegt oberhalb von Null, das Fahrrad kippt. Bei einer aktiven Beteiligung des Fahrers und einer Reaktionszeit von 1 sec ist das System stabil. Die rote Kurve umrundet den Ursprung exakt einmal. Dies gilt ebenfalls für die grüne Kurve (τ = 2 sec). In Richtung steigender Werte von iω liegt trotz der Schlaufe der Ursprung immer rechts der Kurve. Für τ = 4 sec (blaue Kurve) liegt der Ursprung innerhalb der Schlaufe. Das System ist folglich instabil. Dieser Sachverhalt lässt sich auch im Zeitbereich demonstrieren (Bild 20). Allerdings ist der Aufwand für die Berechnungen erheblich grösser als unter Verwendung des Nyquist Diagramms.
Bild F6
Stabilität beim Freihandfahren für das autonome Fahrrad (rot) und für Reaktionszeiten des Fahrers von 1 sec und von 4 sec.
Bild F6 zeigt, dass das autonome Fahrrad zügig kippt. Mit einem Kippwinkelverhältnis von 1.3 ist das System bei einer Reaktionszeit des Fahrers von 1 sek. auch bei 30 km/h stabil. Bei längeren Reaktionszeiten verhält sich das System ähnlich wie unter einem betrunkenen Fahrer. Die Reaktionen sind zu sehr verzögert um das System zu stabilisieren (blaue Kurve).
Grund dafür, dass Freihandfahren mit einer Reaktionszeit von bis zu 2 Sekunden möglich ist, ist die Präzession. Im nominell instabilen Bereich oberhalb 20 km/h kann die Präzession keine Stabilität erzeugen. Sie kann jedoch den für die Instabilität charakteristischen positiven Eigenwert ungefähr halbieren. Damit steigt die Zeit, die dem Fahrer für seine Reaktion zur Verfügung steht.
Bild F7
Maximale Reaktionszeiten für stabiles Freihandfahren mit und ohne Einschluss der Präzession für verschiedene Werte von C.
Die Präzession bewirkt (BildF7), dass die für stabiles Freihandfahren oberhalb 20 km/h erforderlichen Reaktionszeiten bei allen Geschwindigkeiten oberhalb 2 sec und damit im Bereich eines geschickten Fahrers liegen. Unterhalb 20 km/h ist das autonome Fahrrad gegen Kippen stabil. Eine Reaktion des Fahrers ist in diesem Bereich nicht zwingend erforderlich. Bei einer Reaktionszeit von 1 Sekunde liegt der Realteil des relevanten Eigenwerts über den ganzen Geschwindigkeitsbereich zwischen -0.21 und -0.26 Sekunden. Eine Störung klingt mit
Lässt man die Präzession weg, so steigen die Anforderungen an die Reaktionszeit dramatisch an und dürften den Fahrer überfordern.
Bild F8
Zeitabhängigkeit des Kippwinkels bei 30 km/h nach einem Stoss von 1° für Werte C = 1.2 und tau = 1 sek. Grüne Kurve: Autonomes Fahrrad. Rote Kurve: Geregelt durch Fahrer. Blaue Kurve: Wie rote Kurve, aber ohne Präzessionsterm.
Bild F8 illustriert die Wirkung der Präzession im instabilen Bereich des autonomen Fahrrads bei 30 km/h. Mit einem Gegenkopplungsfaktor C = 1.2 und einer Reaktionszeit von 1 Sek. gelingt es dem Fahrer das Fahrrad zu stabilisieren (rote Kurve). Dies jedoch nur, falls die Präzession berücksichtigt wird (rote Kurve). Ohne Präzession (blaue Kurve) treten unbegrenzt anwachsende Pendelbewegungen auf.
Gelenktes Freihandfahren
Gelenktes Freihandfahren
Freihändig eine Kurve zu fahren ist viel schwieriger als geradeaus zu fahren. Die Geradeausfahrt ist für vcrit < v < 20 km/h der stabile Sollzustand des Systems. Solange der Fahrer das Gleichgewicht nicht stört, fährt das Fahrrad geradeaus. Oberhalb 20 km/h ist immer noch die Geradestellung des Lenkers der Sollzustand des Regelsystems. Allerdings genügt jetzt die bei einer Störung ausgelöste Lenkerdrehung nicht mehr, um das System zu stabilisieren. Der Fahrer selbst muss für Stabilität sorgen. Solange er geradeaus fährt, wird er vom System darin unterstützt. Beim freihändig Kurvenfahren entfällt die Unterstützung.
Eine stationäre Kurvenfahrt einzuleiten, erfordert ein zweistufiges Vorgehen. Als erstes muss sowohl eine Kippinstabilität wie auch eine Regelung auf σ = θ = 0 unterdrückt werden. Dies ist erreicht, wenn Gloop(0) = 1 beträgt. Für die statische Regelverstärkung C0 des Fahrers heisst dies:
Ist C < Co, so kippt das Fahrrad, ist C > Co grösser, so richtet es sich auf. Beim Geradeausfahren wählt man C > Co. Beim Kurvenfahren ist ein stationäres Verhalten nur möglich, wenn C = Co exakt erfüllt ist, was viel schwieriger zu erreichen ist. Dies führt jedoch nicht wie bei einer echten Regelung zu einem stabilen Zustand. Es führt zu einem indifferentes Gleichgewicht, innerhalb dessen jeder Lenkerdrehwinkel stationär ist. In einem zweiten Schritt muss das System durch den Fahrer auf den gewünschten Drehwinkel, resp. Kippwinkel geregelt werden. Hier bietet die Regeltechnik keine Hilfe. Die Bedingung des indifferenten Gleichgewichts ist durch ein Kontinuum von Kombinationen Kippwinkel mit Lenkerdrehung erfüllbar. Es liegt einzig am Fahrer, die Symmetrie zu brechen und den gewünschten Kippwinkel θ0 einzustellen.
Die Regelfunktion des Fahrers lautet deshalb wie folgt:
Der Fahrer muss auf Abweichungen vom Sollwert θ0 des Kippwinkels und damit des Sollwerts des Kurvenradius über den Rahmenkippwinkel reagieren. Liegt θs oberhalb des Sollwerts θ0, so erhöht sich θr gegenüber dem Gleichgewichtswert, das Fahrrad richtet sich auf. Liegt θs unterhalb des Sollwerts θ0, so gilt das umgekehrte.
Das Bilder F9 zeigt, dass sich auf diese Weise stationäre Kurvenradien einstellen lassen. In den Rechnungen wurde die Reaktionszeit des Fahrers nicht eingeschlossen. Die Pendelbewegungen sind allerdings so langsam, dass sie innerhalb der Reichweite der Reaktionszeit des Fahrers liegen.
Bild F9
Gelenktes Freihandfahren bei 20 km/h, ausgehend von einem Schwerpunktkippwinkel von 1°. Der Sollkippwinkelbei der angestrebten Kurvenfahrt beträgt 4°.
Bild F9 zeigt, dass sich der gewünschte Kippwinkel und damit die gewünschte Kurvenfahrt nach wenigen Sekunden erreichen lässt.
Bei 20 km/h sind im stationären Zustand die Kippwinkel von Rahmen und Schwerpunkt in guter Näherung identisch. Die um einen Faktor 5 erhöhte Differenz (grüne Kurve) zeigt die erforderliche Aktion des Fahrers. In den ersten Sekunden ist der Rahmen weniger gekippt als der Schwerpunkt. Das Fahrrad beginnt zu kippen. Um ein Überschiessen des Kippwinkels zu verhindern, wird das Vorzeichen gewechselt. So lässt sich nach kurzer Zeit eine stationäre Kurvenfahrt erreichen.
Die Pendelbewegungen sind genügend langsam, dass die Reaktionszeit des Fahrers genügt um stabiles Verhalten zu errichen.
Nach dem Kenntnisstand des Autors wird im vorliegenden Beitrag zum ersten Mal Freihandfahren ausführlich besprochen. Früher ist man von der irrigen Vorstellung ausgegangen, dass das autonome Fahrrad ein brauchbares Modell für das Freihandfahren darstellt. Dies ist nicht korrekt. Oberhalb 20 km/h ist das autonome Fahrrad instabil gegen Kippen. Freihandfahren kann man trotzdem. Das autonome Fahrrad kann ausschliesslich geradeaus fahren. Geschickte Fahrer schaffen auch das Kurvenfahren.
Literatur
(1) F. J. W. Whipple. The stability of the motion of a bicycle. Quarterly Journal of Pure and Applied Math., 30, pp. 312-348 (1899)
(2) F. Klein und A. Sommerfeld. Über die Theorie des Kreisels, Heft IV.Teubner, Leipzig, 1910. pp. 863 -884 Download
(3) J. P. Meijnaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina and A. L. Schwab, Proc. R. Soc. A 463, 2007 (2084) pp: 1955–1982. Download des Fahrrads
(4) Karl J. Åström, Richard L. Klein and Anders Lennartsson, IEEE Control Systems Magazine, August 2005, pp. 26 - 47
(5) J. D. G. Kooijman, J. P. Meijnaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina and A. L. Schwab, Science, Vo. 332, pp. 339 - 342 (2011).
http://www .sciencemag.org/content/332/6027/339
siehe auch: http://bicycle.tudelft.nl/stablebicycle/ und http://ruina.tam.cornell.edu/research/topics/bicycle_mechanics/
(6) Pohls Einführung in die Physik, Band 1 Mechanik, Akustik und Wärmelehre, Springer (2009).
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