Trigonometría - ¿Para qué es buena?

El problema básico de la trigonometría es algo así:

Está parado junto a un río ancho y necesita saber la distancia a través de él, digamos a un árbol en la otra orilla, marcado en el dibujo aquí con la letra C (para simplificar, ignoremos la tercera dimensión). ¿Cómo se puede hacer esto sin cruzar el río?

La prescripción habitual es la siguiente. Clava dos postes en el suelo en los puntos A y B, y con una cinta métrica o una cadena de agrimensor mide la distancia c entre ellos ("la línea de base").

Luego retire el poste en A y reemplácelo con un telescopio de topógrafo como el que se muestra aquí ("teodolito"), que tiene una placa dividida en 360 grados, que marca la dirección ("acimut") en la que apunta el telescopio. Mirando el telescopio, primero en el árbol y luego en el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de acimut. Vuelva a colocar el poste, lleve su telescopio al punto B y mida el ángulo B de la misma manera.

Un viejo telescopio de agrimensor (teodolito).

La longitud c de la línea de base y los dos ángulos A y B contienen todo lo que hay que saber sobre el triángulo ABC: lo suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo del mismo tamaño y forma en algún campo abierto conveniente. La trigonometría (trigón = triángulo) fue originalmente el arte de derivar la información que faltaba por puro cálculo. Dada la información suficiente para definir un triángulo, la trigonometría le permite calcular sus dimensiones y ángulos restantes.

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques de construcción básicos a partir de los cuales se puede construir cualquier forma (con límites rectos). Un cuadrado, un pentágono u otro polígono se puede dividir en triángulos, por ejemplo, mediante líneas rectas que irradian desde una esquina a todas las demás.

Al cartografiar un país, los agrimensores lo dividen en triángulos y marcan cada esquina con un "punto de referencia", que en la actualidad suele ser una placa redonda de latón clavada en el suelo, con un hoyuelo en el centro, sobre la cual los agrimensores colocan sus varillas y telescopios ( George Washington hizo este tipo de trabajo cuando era adolescente). Después de medir una línea de base, como AB en el ejemplo del río, el agrimensor mediría (como se describe aquí) los ángulos que formó con líneas a algún punto C, y usaría la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estos pueden servir como líneas de base para 2 triángulos más, cada uno de los cuales proporciona líneas de base para dos triángulos más... y así sucesivamente, más y más triángulos hasta que todo el país esté cubierto por una cuadrícula que involucre solo distancias conocidas. Posteriormente, se puede agregar una cuadrícula secundaria, subdividiendo los triángulos más grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, proporcionando distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar mapas y planos.

Un gran proyecto topográfico de la década de 1800 fue el "Gran estudio trigonométrico" de la India británica. Los dos teodolitos más grandes jamás construidos para el proyecto, monstruos con escalas circulares de 36 pulgadas de ancho, en los que se leyeron los ajustes con una precisión excepcional por 5 microscopios. Cada uno en su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para transportarlo. Utilizándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas se dejaron para más adelante) y tardó décadas en completarse.

En 1843, Andrew Scott Waugh se hizo cargo del proyecto como Agrimensor General y prestó especial atención a los picos del Himalaya al norte de la India. Debido a las nubes y la neblina, esos picos rara vez se ven desde las tierras bajas, y hasta 1847 se lograron pocos avistamientos medidos. Incluso después de que se hicieron, los resultados tuvieron que ser laboriosamente analizados por "computadoras" en las oficinas de la encuesta, no máquinas, sino personas que realizaron los cálculos trigonométricos.

Se cuenta la historia que en 1852 el jefe de la computadora, Radanath Sikhdar, se acercó al director de la encuesta y le dijo: "Señor, hemos descubierto la montaña más alta del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), el pico se observó desde seis estaciones diferentes, y "en ninguna ocasión el observador sospechó que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Originalmente fue designado como "Pico XV" por la topografía, pero en 1856 Waugh lo nombró en honor a Sir George Everest, su predecesor en el cargo de topógrafo jefe. Everest fue quien encargó y utilizó por primera vez esos teodolitos gigantes; ahora están en exhibición en el Museo de la Inspección de la India en Dehra Dum.

Hoy en día, las posiciones en la Tierra se pueden encontrar con bastante precisión utilizando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbitas precisas, que transmiten constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y da la posición de uno dentro de 10 a 20 metros (incluso con mayor precisión para los militares, el patrocinador del sistema). Se trata de una gran cantidad de trigonometría, pero todo lo hace la computadora dentro de su dispositivo, todo lo que necesita hacer es presionar los botones adecuados.

Ahora que sabe un poco sobre los usos de la trigonometría, puede avanzar al meollo del asunto.

Nota: Los detalles sobre el descubrimiento del monte Everest y el estudio de la India se tomaron de "¿Quién descubrió el monte Everest?" por Parke A. Dickey, Eos (Transacciones de la Unión Geofísica Americana), vol 66, p. 697-700, 8 de octubre de 1985. El artículo se reproduce en la pág. 54-59 de Historia de la Geofísica, vol. 4, editado por C. Stewart Gillmor, publicado por la Unión Geofísica Americana, 1990.

Se puede encontrar un relato muy ameno, incluida la historia de William Lambton, quien fundó esa encuesta, en "The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named" de John Keay, 160 páginas de tapa dura, Harper and Collins, septiembre de 2000.