La sección (M–1) le brinda los principios del álgebra simple. Estos ejercicios le darán práctica para aplicarlos.
No esperes nada profundo o interesante: esto es solo un ejercicio, como los ejercicios con los dedos que haces si deseas dominar un instrumento musical, o la práctica de estacionamiento en paralelo antes de tu examen de conducir. Hágalos todos, ¡no deje ninguno
(1) Aislar x en cada ecuación y encontrar su valor, siguiendo el
regla que "cuando se realizan operaciones iguales en ambos
lados de una ecuación, el resultado sigue siendo igual".
A la derecha de cada problema hay instrucciones para resolverlo, una lista de las operaciones requeridas. La secuencia en la que se aplican se lee de izquierda a derecha. Escribe una nueva ecuación para cada paso.
La notación de las instrucciones es la siguiente. Para operaciones aplicadas a ambos lados:
(+2) suma 2
(–6) resta 6
(*3) multiplica por 3
(/5) divide por 5
Para otras operaciones:
(+/–) suma o resta términos donde puedas
(*) multiplica términos donde puedas Nota : No todas las ecuaciones tienen una solución única. Algunas pueden ser identidades, ej. 2(x+1) = 2x + 2, que se cumplen para cualquier valor de x. Algunas pueden ser identidades erróneas, ej. 2(x+1) = 2x + 3, que se mantienen sin valor, porque reducen el requisito imposible 2 = 3.
5+x = 7
(–5)
x/2 = 3
(*2)
x/3 + 4 = 8
(–4)(*3)
4x – 5 = 15
(+5)(/4)
3x + 6 = 5x
(–3x)(/2)
[Si un profesor o profesora insiste en lo desconocido a la izquierda.:
(-5x)(-6)(*-1)(/3) ]
o bien, intercambiar lados: ¡la ecuación sigue siendo verdadera! ]
6x + 4 = 1.5x + 13
(–1.5x)( –4)(/4.5)
15x – 2 = 6x + 16
(–6x)(+2)(/9)
21x – 3 = (7x+9)/2
(*2)(–7x)(/5)(/3)
¡Observe que la multiplicación por (–1) invierte todos los signos en ambos lados!
10 – 3x = –2
(–10)(*( –1))(/3)
1/(x+1) = 2/(x+3)
(*(x+1))(*(x+3)(*)( –x)( –2)
(x+2)(x+1) = (x+7)(x–1)
(*)(+/–)( –x2)( –2)( –6x)(*( –1)(/3)
(2) Los mismos tipos de ecuaciones, pero ahora sin instrucciones:
7 + 2x = 13
15 + 7x = 1
4x – 3 = 2x
5x – 3 = 1 – 2x
(x/2)+5 = (x/3)+6
5x – 20 = x+8
(x+6)/2 = 2x – 21
(2x–3)/(4x–3) = 1
2/(3–x) + 1/(2+x) = 0
(x+10)/(3x+5) = 2
(11x+1)/(6x–2) = 2
(x+2)(x+3) = (x+1)(x+7)
(3)¿Hay algo malo con estas ecuaciones? Y si es así, ¿qué?
(15x–5)/(3x–1) = 5
4(3x–5) = 2(6x+7)
5(x–3) = 7x – 15
(4) Todas las relaciones a continuación contienen tanto x como y. :
Expresar y en términos de x, por ejemplo
x + y = 7 Responder: y = 7 – x
Todas las operaciones están indicadas como antes, pero ojo:
los problemas incluyen un ejemplo mal planteado.
2x + 3y = 7
(–2x)(/3)
(3y+1)/(x+2) = –2
(*(x+2))( –1)(/3)
(4x – 5y –2) = 13
(+2)( –4x)(* –1)(/5)
(3y + x + 6)/(y–x+2) = 2
(*(y–x+2)) ( –2y)( –x)( –6)
(y–4x)/(y+x+6) = 1
(*(y+x+6))( –y)( –x)(*( –1))(/5)
(15x–2y+6) = (y–6)
(–y)( –15x)( –6)(*(–1))(/3)
(5) A continuación hay pares de ecuaciones que involucran dos números desconocidos, x e y.
Resuelve cada uno de los conjuntos de ecuaciones dos veces. Resolver una vez por
(a) expresando y de una ecuación en términos de x, entonces
(b) sustituyendo la expresión por y en la otra ecuación, entonces
(c) derivando x, y finalmente
(d) colocando ese valor en la expresión sustituida y obteniendo y. Luego resuelva nuevamente intercambiando los roles: exprese x en una ecuación, sustituya esa expresión en lugar de x en la otra, derive y, luego derive x también
(a)
x+3y = 5
2x – y = 3
(b)
x+y = –1
3x+4y = 2
(c)
x+34 = 15
3x+y = 5
(6) Dadas dos ecuaciones, marcadas aquí I y II, también puede
multiplicar o dividir cada ecuación por cualquier número. Además, puedes sumar una ecuación a la otra, o restarla: como las cantidades que sumas o restas a ambos lados son iguales, lo que queda también es una igualdad válida.
Aquí hay algunos ejemplos: el primero está resuelto, para el resto solo se dan los pasos. En esta notación, II siempre significa la segunda ecuación en esta etapa del cálculo; no es necesario que sea la segunda ecuación original, pero podría haber sido (digamos) multiplicada por 6. Si las instrucciones solo mencionan una operación, debe aplicarse a la ecuación obtenida en el paso anterior.
5x – 12y = 2 (I)
–3x + 2y = 4 (II)
(II*6)
–18x + 12y = 24
(I+II)
5x – 18x = 26 (12y and –12y cancel)
(+)
–13x = 26
(*(–1))
13x = –26
(/13)
x = –2
Para encontrar y, pon esto en (I)
–10 – 12y = 2
–12y = 12
12y = –12
y = –1
Para verificar su resultado, vea si (II) también se cumple
(–3)( –2) + 2(–1) = 4? (4 = 4, result OK)
En lo que sigue, solo se dan los pasos para obtener una variable. Por su cuenta, derive también la otra variable y verifique el resultado.
(a)
3x+4y = 19 (I)
5x + 2y = 13 (II)
(II*2)(II – I)(/7)
(b)
2x+3y = 5 (I)
3x+2y = 0 (II)
(I*3)(II*2)(I–II)(/5)
(c)
4x+3y = 16 (I)
3x+5y = 12 (II)
(I*3)(II*4)(II–1)(/11)
(d)
2x+6y = 34 (I)
5x+2y = 46 (II)
(II*3)(II–1)(/13)
(e)
3x+5y = 31 (I)
2x–3y = 11 (II)
(I*2)(II*3)(I–II)(/19)
(7) Ahora resuelve por tu cuenta:
(a)
2x–3y = 1 (I)
3x+2y = 21 (II)
(b)
5x–2y = 20 (I)
10x + 3y = 5 (II)
(c)
6x + 2y = 8 (I)
5x + 4y = 16 (II)
(d)
3x – 4y = 1 (I)
2x + 3y = –5 (II)
(8) Las dos escalas más utilizadas para medir la temperatura son las introducidas por Farenheit (utilizada en EE. UU.) y Celsius (la escala centígrada, utilizada en el resto del mundo y por los científicos).
(a) Si la temperatura F grados Farenheit corresponde a C grados centígrados, entonces
F = x C + y
Encuentre x e y, dado que 100 grados centígrados (punto de ebullición del agua) corresponden a 212 grados Farenheit, y 0 grados centígrados (punto de congelación del agua) corresponden a 32 grados Farenheit.
(b) Usando la solución de (a), ¿a qué temperatura C = F?