En algunas manipulaciones algebraicas se multiplican expresiones enteras. Por ejemplo, se puede escribir
(a + b)c = ac + bc
Esto no es una ecuación sino una identidad, una expresión verdadera para tres números cualesquiera (a,b,c). Por ejemplo si a = 3, b = 7, c = 5, entonces
(3 + 7)(5) = (3)(5) + (7)(5) = 15 + 35 = 50
Si la suma se realiza primero
(3 + 7)(5) = (10)(5) = 50
Las identidades no agregan ninguna información sobre las cantidades que contienen, porque son verdaderas para cualquier valor que puedan tomar esas cantidades. Sin embargo, son útiles para reorganizar ecuaciones a formas nuevas y más limpias. La identidad escrita en la parte superior es en realidad una de las propiedades básicas de los números ("la ley distributiva"). De ahí se obtiene de manera más general
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
que se puede descomponer aún más y que se cumple para cualquier valor de (a,b,c,d). En particular
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ba + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
lo cual es bastante útil (puede probarlo con algunos valores específicos para a y b). Similarmente
(a – b) 2 = (a – b)(a – b) = (a – b)(a) + (a – b)( –b)
= a2 – ba – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
De nuevo, las dos últimas identidades
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Otra identidad útil se obtiene multiplicando (a–b) por (a+b). Debe recordar que el signo menos va con (–b), porque también podría haber escrito
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Otra identidad útil se obtiene multiplicando (a–b) por (a+b). Debe recordar que el signo menos va con (–b), porque también podría haber escrito
(a + (–b)) en lugar de (a – b)
Asi que
(a – b) (a + b) = (a + (–b))(a + b )
= a2 + (–b) a + ab + (–b)b = a2 – ba + ab – b2 = a2 – b2
Reescribiendo solo el principio y el final
(a – b)(a + b) = a2 – b2
Esto también será útil para derivar el teorema de Pitágoras, de una manera diferente.
Finalmente, dos identidades más que puede encontrar ocasionalmente:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3