Las fórmulas son muy similares a las ecuaciones.
Considere por ahora solo ecuaciones con una variable desconocida, denotada por alguna letra. Puede ser x, pero también se pueden elegir letras diferentes, para ajustarse a la cantidad representada.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas que contienen el número desconocido (tal vez en varios lugares), así como otros números que se conocen. "Resolver la ecuación" significa encontrar qué valor del número desconocido hace que la igualdad sea verdadera. Si (como sucede a menudo) la ecuación surge de un cálculo científico o de ingeniería, su solución indica qué esperar de nuestro diseño, experimento u observación.
Una fórmula, en cambio, es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, que involucran dos o más números desconocidos, y quizás también otros números cuyos valores se dan.
Por sí misma, una fórmula no "tiene una solución". No es un rompecabezas con una solución determinada, que debe encontrarse, sino que expresa una relación entre los números desconocidos. Pueden existir muchos valores diferentes de las cantidades desconocidas, cada uno de los cuales la hace realidad.
Sin embargo, si nos dan los valores de todos menos uno de los números desconocidos, lo que queda es una ecuación para la incógnita restante, que luego se puede resolver.
Todo esto se aclara mejor con ejemplos.
Ejemplo (1)
El formulario de impuestos sobre la renta de mi estado de Maryland me dice que si mis ingresos durante el año fueron de E dólares (corregidos por exenciones, correcciones y otros ajustes de impuestos) y mi impuesto sobre la renta estatal para el año es de T dólares, entonces (con la marca * multiplicación)
T = (E – 3000)*0.0475 + 90
Lo anterior es una fórmula, y no tiene solución única. Cada valor de E da un valor diferente de T. Una vez que se da E, se convierte en un tipo de ecuación bastante simple, y T se encuentra inmediatamente.
En lo que sigue usamos de nuevo la notación algebraica, donde se entiende que las expresiones conmovedoras se multiplican. Entonces el símbolo * ya no es necesario y la fórmula se convierte en
T = (E – 3000) 0.0475 + 90
Dos cosas a tener en cuenta. Primero, ahora a menudo denotamos cantidades desconocidas, no por x e y, sino por letras que contienen pistas de lo que representan. Como "E" para "ganancias" y "T" para "impuestos".
En segundo lugar, todos los trucos que se usan para cambiar ecuaciones de una forma a otra se pueden usar para cambiar la forma en que se escribe una fórmula. Supongamos que conocemos el impuesto T de alguien y deseamos derivar las ganancias E.
En este caso, la misma fórmula da una ecuación diferente. Anteriormente, era más conveniente que T estuviera solo a la izquierda. Ahora, es más conveniente aislar E:
Resta 90 de ambos lados:
T – 90 = (E – 3000) 0.0475
Divide ambos lados por 0.0475:
(T – 90) / 0.0475 = (E – 3000)
Sumar 3000 a ambos lados
(T – 90) / 0.0475 + 3000 = E
Para una apariencia más prolija, cambie de lado:
E = (T – 90)/0.0475 + 3000
Ahora, para cualquier T que insertes, obtienes un valor de E.
Ejemplo (2)
La temperatura generalmente se mide utilizando la escala introducida en 1714 por Farenheit o la propuesta en 1742 por Celsius. Si la temperatura de algún objeto es grados F en la escala de Farenheit y grados C en la escala de Celsius, los dos números están conectados por la fórmula
C = (F – 32)(5/9)
Dado uno de los dos números, tenemos una ecuación para el otro.
Si F es el que se da, la forma anterior da inmediatamente C. Si, por otro lado, se da C, ayuda a aislar F. Multiplica ambos lados por 9:
9C = (F – 32)5
Divide ambos lados por 5:
(9/5)C = F – 32
Sumar 32 a ambos lados
(9/5)C + 32 = F
Cambie de lado para una apariencia más convencional:
F = (9/5)C + 32
Ejemplo (3) La distancia s que recorre un objeto que se deja caer en un tiempo de t segundos, partiendo del reposo, es
s = (1/2) gt2
(notación algebraica, por lo que los símbolos que se tocan se multiplican).
Aquí g es el número que da la fuerza de atracción de la gravedad de la Tierra: si s está en metros, g = 9,81, si está en pies, g = 32,16 (9,81 metros = 32,16 pies). Ese valor es conocido, pero manipular la fórmula (como se hace a continuación) se vuelve más simple si continúa representándolo con una letra hasta el momento en que realmente se usa.
Sin embargo, el tiempo t no está dado. Siempre que elija un valor para t, la fórmula le dará las distancias adecuadas.
Supongamos que buscamos la relación inversa: dada s, ¿cuál es t? Ahora uno ve a t como lo desconocido y procede a aislarlo. Multiplica ambos lados por 2
2s = gt2
y divide por g
2s/g = t2
Ir de t2 a t uno debe encontrar la raíz cuadrada, una tarea fácil para cualquier persona con una calculadora que tenga un botón de raíz cuadrada (también existen métodos más lentos, usando lápiz y papel). Las matemáticas usan un signo. √ por esto, entonces
√(2s/g) = t
Ahora, cualquiera que sea la distancia s, uno puede ponerla en la ecuación y derivar el tiempo apropiado t, en segundos.
Como se señaló en la primera sección, discusión de tres reglas básicas de álgebra, cuando se hace lo mismo en ambos lados de una ecuación, los resultados siguen siendo iguales.
Lo mismo es cierto para las fórmulas. Por ejemplo, si multiplica dos lados de una fórmula por el mismo número, el resultado sigue siendo una fórmula válida, incluso si lo que multiplica contiene números desconocidos. Igual significa igual!
El siguiente ejemplo es de un tipo que surge a menudo. En uno de los problemas de "Stargazers", se llega a una fórmula
VT = 2 π R
Donde π=3.1415926... es un número fijo, el número de diámetros en la longitud de un círculo, T es un intervalo de tiempo y R una distancia. Supongamos que se nos dice que en el instante (1) sus valores son T1 y R1, y en el instante (2), estos son T2 y R2. Ahora tenemos dos fórmulas.
VT1 = 2 π R1 (1)
y
VT2 = 2 π R2 (2)
Cualquier conexión entre los dos pares,(T1, R1) y (T2, R2)? Si! Podemos dividir
el lado izquierdo de (1) por el lado izquierdo de (2),
el lado derecho de (1) por el lado derecho de (2)
Después de todo, estamos dividiendo los lados de (1) por dos expresiones que son iguales, por lo que los resultados también deberían ser iguales. Obtenemos:
VT1 / VT2 = 2 π R1 / [2 π R2]
Cancelando términos que son iguales en numerador y denominador --a saber, V a la izquierda y 2 π a la derecha--se deja
T1 / T2 = R1/ R2
que resulta ser útil en el resto del cálculo. Esta es una regla general: dadas dos fórmulas o ecuaciones, podemos dividir cada lado de una por uno de los lados de la otra. "Dividiendo iguales por iguales, da resultados que permanecen iguales".