El Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a. C., principalmente en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. Según la tradición, fue el primero en demostrar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre:

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con lados (a,b) que encierran un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), entonces

a² + b² = c²

Un ángulo recto se puede definir aquí como el ángulo que se forma cuando dos líneas rectas se cruzan de tal manera que los 4 ángulos producidos son iguales. El teorema también funciona al revés: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, entonces el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

Por ejemplo, un triángulo con lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros, lo que sea) tiene un ángulo recto porque

a² + b² = 3² + 4²

= 9 + 16 = 25 = c²

Los constructores del Antiguo Egipto pueden haber conocido el triángulo (3,4,5) y lo usaron (con varillas o cuerdas medidas) para construir ángulos rectos; incluso hoy en día, los constructores aún pueden clavar tablas de esas longitudes para ayudar a alinear una esquina.

Existen muchas demostraciones y las más fáciles son probablemente las que se basan en el álgebra, utilizando las identidades elementales discutidas en la sección anterior, a saber

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(recuerde que 2ab significa 2 veces a por b).

15² = (10 + 5)²
= 10² + (2)(10)(5) + 5²
= 100 + 100 + 25 = 225

y

(a – b) ² = a² – 2ab + b²

Por ejemplo:

5² = (10 – 5)²
= 10² – (2)(10)(5) + 5²
= 100 – 100 + 25 = 25

También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (largo) por (ancho), por lo que el área del dibujado arriba es ab. Un corte diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos con lados cortos a y b, y el área de tal triángulo es por lo tanto (1/2) ab.

Ahora mira el cuadrado de la izquierda construido a partir de cuatro triángulos (a,b,c). La longitud de cada lado es (a+b) y por lo tanto todo el cuadrado tiene un área (a+b)².

Sin embargo, el cuadrado también se puede dividir en cuatro (a, b, c) triángulos más un cuadrado de lado c en el medio (estrictamente hablando, también deberíamos probar que es un cuadrado, pero lo omitiremos). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c². Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes

(a + b) ² = (4)(1/2)(a)(b) + c²

Uso de la identidad para (a + b)² y multiplicando (4)(1/2) = 2

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Resta 2ab de ambos lados y te queda

a² + b² = c²

El mismo resultado también se puede mostrar usando un cuadrado diferente, de área c². Como muestra el dibujo de la derecha, esa área se puede dividir en 4 triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a– b).

Obtenemos

c² = (4)(1/2)(a)(b) + (a– b) ²

= 2ab + (a² – 2ab + b²)

= a² + b² Q.E.D.

QED significa "quod erat demostrandum", en latín "lo que se iba a demostrar", y en los libros de geometría tradicionales esas letras marcan el final de una prueba. La importancia del trabajo de Pitágoras y de los maestros posteriores de la geometría griega (especialmente Euclides) no estuvo solo en lo que demostraron, sino en el método que desarrollaron: partir de algunos enunciados básicos que se suponen válidos ("axiomas") y deducir por lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Las matemáticas todavía siguen el mismo patrón.

Para una aplicación práctica del teorema de Pitágoras--derivando la distancia al horizonte (despreciando los efectos atmosféricos)--ver aquí.

Opcional:. La anterior no es la forma en que Pitágoras y Euclides derivaron el teorema: su método era puramente geométrico, sin usar números en absoluto. Para obtener más información sobre la forma en que lo hicieron, y más, consulte aquí.