Embedded Files
Как построить правильную ромашку?
Будем называть «правильной ромашкой» кривую, которая состоит из повторяющихся лепестков, прикрепленных к общей точке – центру ромашки. Все лепестки имею совершенно одинаковую форму и имеют ось симметрии. Таким образом, можно использовать следующую идею построения правильной ромашки – построить один лепесток, а затем поворачивать его относительно центра ромашки.
Чтобы построить один лепесток, можно использовать следующие соображения. Выбрать полярную систему координат с полюсом в центре ромашки и полярной осью, направленной вдоль оси симметрии лепестка. А далее откладывать на лучах с полярными углами φ и –φ, одинаковые расстояния. Подумаем, какими свойствами должна обладать функция r=r(φ), которая задает радиус вектор для точки, лежащей на лепестке и имеющей полярный угол, равный φ? Как мы уже заметили выше, значения для r при углах φ и –φ одинаковы, а, значит, функция r(φ) является четной функцией. Далее, наибольшее значение функции r(φ) должно достигаться при угле φ=0. А при углах φ0 и - φ0 значение r должно быть равным 0 (см.рисунок слева).
Среди элементарных функций такими свойствами обладает функция r = cos φ. Действительно, при φ=0 она принимает максимальное значение, равное 1, при значениях φ0 = π/2 и φ0=- π/2 функция равна 0, она четная, то есть, ее значения в точках φ и –φ совпадают!
Чем еще удобна для нас функция cosφ? Она является периодической, а значит ее значения будут повторяться через период, это свойство нам понадобится, когда мы будем "повторять" лепестки нашей ромашки.
Заставлю теперь Вольфрам нарисовать кривую, которая задается в полярной системе координат функцией r=cos φ. Вот этот рисунок (ниже):
Вот это лепесток – да это просто окружность! Последнее несложно проверить, если перейти к прямоугольной системе координат и выполнить преобразования уравнения.
А что будет, если я заставлю угол поворачиваться вдвое быстрее, то есть, попрошу нарисовать кривую, у которой уравнение в полярной системе координат имеет вид r=cos 2φ. Получится вот что:
Это уже больше похоже на нашу ромашку - у нее 4 правильных лепестка. А вот кривая, задаваемая уравнением r=cos 5φ:
Получилась ромашка, у которой ровно 5 лепестков! Мы теперь знаем, как построить «правильную ромашку» с любым наперед заданным числом лепестков!
Выводы:
1. Уравнение r=cos nφ в полярной системе координат задает кривую, которая является «правильной ромашкой».
2. Если n является четным числом (делится на 2), то ромашка будет иметь 2n лепестков, а если n является числом нечетным (на 2 не делится), то ромашка будет иметь ровно n лепестков.
Над чем следует подумать? Обратите внимание, что, когда мы рисуем ромашку с уравнением r=cos nφ c четным коэффициентом n, то количество лепестков удваивается, а когда с нечетным коэффициентом n число лепестков остается равным n. Почему это происходит? Более того, легко видеть, что при четном n лепестки ромашки плотно примыкают друг к другу, а при нечетном n между ними остается пространство, куда мог бы разместиться еще целый лепесток!
Это происходит потому, что Вольфрам использует обобщенную полярную систему координат, он допускает, что значение функции r=cos nφ может быть отрицательным и строит точки для тех значений φ, при которых функция cos nφ принимает отрицательные значения. При этом он пользуется тем правилом, которое было изложено выше (в помощнике 1). А вот, если запретить ему (конечно, мы этого сделать не можем!) откладывать точки для углов, при которых r принимает отрицательные значения (расстояние ведь не может быть отрицательным!), то в случае четного n мы тоже будем иметь ровно n лепестков, а между лепестками будет оставаться пространство, куда бы поместился еще один лепесток! Вышесказанное легко понять, если проследить за знаком функции r=cos nφ в зависимости от значений φ.
Осталось добавить, что в математике кривая, уравнение которой записывается в полярной системе координат r=cos nφ, называется n-лепестковой розой!
Переходы:
Google Sites
Report abuse