Помощник 1

Зафиксируем на плоскости точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О направленный луч, который назовем полярным лучом или просто полярой. Пусть М – произвольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Обозначим длину отрезка ОМ буквой r и будем называть вектор OM полярным радиусом точки М. Буквой φ обозначим величину угла, который образует поляра с лучом ОМ. То есть, φ - это величина угла поворота полярного луча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М. Пара чисел (φ, r) называются полярными координатами точки M. Угол φ, как обычно в тригонометрии, отсчитывается против часовой стрелки до полного оборота, то есть, от 0 до 2π, а r, как расстояние, может быть только положительным или равным нулю.

Полярные координаты однозначно определяют положение любой точки на плоскости, за единственным исключением – полюса. Чтобы восстановить однозначность для любой точки плоскости полагают полярные координаты полюса равными нулю: О(0; 0).

Таким образом, каждой точке М можно поставить в соответствие пару чисел (φ, r) и, наоборот, каждой паре чисел (φ, r) будет соответствовать только одна точка на плоскости.

Замечание 1. На практике иногда используется такая система полярных координат, в которой радиус r может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой r может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой полярных координат пользуется, в частности, Вольфрам Альфа. Если r – отрицательное число, то точка М находится на продолжении луча с углом φ (в противоположную сторону) и отстоит от полюса на расстояние, равное -r. На рисунке справа показано, где находится точка с координатами ( π/4, -1).