https://drive.google.com/file/d/0B6gCgNbnV4rZcmxRUEZLTFdrTlU/view?usp=sharing
國一數學函數
教學精進方法策略 專題報告
報告人:吳和桔
中華民國104年6月8日
一、學習緩慢者：多元教學活動與評量
1.利用均一平台：自主學習
2.選用合適教具(圖表、圖像、操作):輔助學習、強化認知
3.提供學習成就經驗:感受成功喜悅(由簡而繁、由易而難)
4.採用分組合作學習:師徒制/大師兄/小師妹、一對一學習
5.獎勵/鼓勵:達到目標後(幾乎全班提議的目標:全班只有三人不及格或2號考30分以上)，老師請全班喝飲料。
6.陪讀、伴讀、共讀：學習不孤單。
7.相互出題考驗:將心比心，考驗重點、觀念為何?
8.上台解題說明(檢討習作、考卷時):解題關鍵重點為何?
9.列舉生活問題、描述問題:加油、漏水、手機費率…等問題。
二、學習過程的迷失概念
(一)函數的迷思概念主要有：
1.以為函數就是一種數。(函數是指兩變數之間的對應關係)
2.以為函數就是y=ax+b 的式子，可以寫成y=ax+b的就是函數。
(函數關係也可以表格、圖形顯示表達，也可以是二次函數)
3.未能了解常數函數的意義而無法求出其函數值。
4.以為函數就是某種表徵或型態。(函數是指兩變數之間的對應關係)
5.誤解函數關係中，自變數與應變數定義。
6.以為自變數與應變數符合規律性的就是函數關係，而自變數與應變數沒有符合規律性的就不是函數關係。(函數關係也可以表格、圖形顯示)
7.以為函數就只有線型函數、一次函數、常數函數三種。
(還有二次函數、三角函數…)
8.以為圖形為直線就是線型函數。(垂直直線不是函數)
9.只要課本例題或舊有經驗沒出現過的，就不是函數。
10.以為函數只在計算其函數值或繪製其圖形。
數學函數是工具，可協助我們解決生活上的問題(函數的應用:只要知道函數關係式，就可回顧過去/精算現在/預測未來)。
(二)精進方法策略
◎強化概念、精熟定義
將定義用自己所理解的語言、文字表達出來或用數學式表示(需註解式中每一項意義與限制)，以消化(內化)成自己的認知。
◎多見識、多演練、多思考
1.所謂「函數」是指含有對應關係的兩個變數，兩個變數x(自變數)、y(應變數)之間存在有對應關係。注意！函數指的是對應關係而不是數，函數值才是數。
2.「函數」是討論兩個變數間的關係之問題。例如:當討論兩個變數x、y時，若變數x被指定(給定)為一個定數時(給定一個x值)時，則另一個變數y的值也只有一個定值與之對應，兩變數之間有如此對應關係的情形時，我們稱y是x的函數，記作y=f(x)，式中y稱應變數，x稱自變數，f是function的縮寫，數學上中譯為函數。
3.與兩項的不同是前項只顯示y是x的函數，表示x與y之間有對應關係，但不知其正確關係；而後項不只顯示y是x的函數，除表示x與y有對應關係外，還明確表示出其對應關係，其對應的函數關係為應變數y等於自變數x乘上a後再加上b。
4.一次函數各項意義如下所述:
y: 應變數
x: 自變數(最高次方是一次方)
表函數關係
a: x項(一次項)的係數(a≠0)
b: 常數項
5.所謂「函數關係」是指兩變數之間有對應關係，但其正確關係未陳述。
正比關係是函數關係(固定倍數關係)。
反比關係是函數關係(固定倍數關係)
6.數學上的「函數關係(兩變數間關係)」類似生活中的師生關係、同儕關係、男女關係、親友關係…等諸如此類，其存在特定關係。一旦表示或指出其特定關係中的某一角色身分，則其對應的角色就可相應而生了。
例如：
(1)我倆之間有關係(師生關係、同儕關係)：
若我是老師(自變數)，那你就是學生(應變數)；若她是我的學生，那你也是我的學生；
(2)你倆之間有關係(男女關係、親友關係)：
若你是她的男朋友，則她是你的女朋友；若你是她的表哥，則她是你表妹。
7.函數的意義如同「自動販賣機」功能
當投入某一金額(給定x值)時，機器出現選項，此時按下選項後(選擇函數關係式)，就出現一瓶飲料(只有一個y值與之對應)；不同的函數關係(一次函數、二次函數、三角函數)如同有不同的自動販賣機(販賣飲料)、(販賣便當)、(販賣白米)。不同的函數關係，其函數內部運算/作用不同，產生的結果也不同。可將「函數」類比為「機器(自動販賣機)」。
8.函數關係的表徵(外表特徵)
(1)文字敘敘(定義):在自變數x與應變數y的對應關係中，對於每一個x值都能對應到唯一的y值，此時y是x的函數。關鍵:找對應關係
(2)表格關係，判斷是否為函數關係。關鍵:找對應關係
(3)圖形關係，判斷是否為函數關係。關鍵:找對應關係
(4)數學關係式，判斷是否為函數關係。關鍵:找對應關係
9.已知數學式，判別其是否為函數關係
(1)若，，…，， 則y是x的函數。
(2)若
，，…，…，， 則y不是x的函數(y值不是唯一)。
(3)判斷 y是不是x的函數，關鍵是與y的次方有關，而與x的次方無關。
(4)判斷，式中 x≠0是否為一次函數?
解:因為所謂一次函數是指應變數y與自變數x之間的函數對應關係是一次方關係，即指自變數x的最高次方式一次方。原式，式中 x的最高次方是-1而不是1，故不是一次函數。
10.函數的種類、名稱
(1)線型函數(一下課程)/常數函數(一下課程)/一次函數(一下課程)
(2)二次函數(二或三年級課程)
(3)三角函數(高中課程)
…
11.所謂「線型函數(一次函數、常數函數)」是指其函數圖形是一條直線，此直線可以是傾斜直線或水平直線，但不能是垂直直線(不符合函數關係定義)。線型函數(一次函數、常數函數)」中的所指的線是「直線｣非曲線(二次函數:拋物線、正圓、橢圓、雙曲線屬高中課程)
12.所謂「一次函數」是指應變數y與自變數x之間的函數對應關係是一次方關係，即指自變數x的最高次方是一次方。
例如: ，式中a≠0 (x的一次方需存在)。
13.所謂「常數函數」是指應變數y與自變數x之間的函數對應關係是常數關係，即指自變數x可為任意數，其對應的應變數之數值為常數。
例如: ，式中a=0 (x無影響)。
14.線形函數與二元一次方程式ax+by+c=0(a≠0、b≠0)異同
相同:
(1)皆有兩個變數或未知數
(2)圖形雷同都是直線
(傾斜直線、水平直線、垂直直線：二元一次方程式； 線形函數：傾斜直線、水平直線，無垂直直線)
相異:
(1)二元一次方程式只能用方程式表示兩變數之間的關係
(2)線形函數除可用類似二元一次方程式()表示兩變數之間的關係外，也可用表格表示其對應關係。
15.所謂「自變數」是指自然變動的數(例如：時間)。
例如：隨著時間的增加，年齡自然隨之增加；隨你自己的角色身分不同，與你相關的他人角色身分也隨之變動(與你對應)。
16.所謂「應變數」是指回應自變數的數。
17.所謂「定數」是指固定不變的數或
所謂「常數」是指恆常不變的數。
18.所謂「變數」是指變動的數。
19.所謂「函數值」是指「函數關係」中，自變數x確定後其所對應的應變數y之數值。即當自變數x被指定(給定)為一個定數時(例如x=a)時，則另一個變數y=f(x)的值也隨之對應確定，此y=f(x=a)值就稱為函數值。例如:若已知函數關係y=f(x)=2x+5，當指定自變數x=3時，則其函數值為y=f(x=3)=f(3)=2*3+5=11。若函數關係確定且其自變數的值也確定，則其函數值即可確定。
20.所謂「函數圖形」是指由所有自變數x與其對應的應變數y所構成的數對(x,y)，在坐標平面上所形成的圖形。或稱在坐標平面上，所有合於函數關係
的點(x,y)，所形成的圖形稱為函數的圖形。
三、解題策略
1. 觀察題目，找關鍵字，認清題目，理解題意。
2.見招拆招：聯想到哪些定義、定理、公式、數學關係式、專有名詞、單元內容、哪些應用?
3.解答就在題目裡:由題目的已知出發或由題目所求，反推回去。
4.函數關係的表徵(外表特徵)
(1)文字敘敘 :在自變數x與應變數y的對應關係中，對於每一個x值都能對應到唯一的y值，此時也可說y是x的函數。(定義)
(2)表格關係，判斷是否為函數關係。關鍵:找對應關係
(3)圖形對應關係，判斷是否為函數關係。關鍵:找對應關係
(4)數學關係式，判斷是否為函數關係。
5.應用問題
(1)依據題意 列出已知條件
(2)依據題意 作出合理假設(未知數；通常所假設的未知數，即題意所求的未知數量)
(3)依據題意 列出方程式(關係式)
(4)依據運算規則 解出方程式(解出未知數)
(5)依據題意 寫出合理解答(符合所求；注意文字背後內涵意義)