Цікава математика

Математика. Історична довідка

Математика (греч. mathematike, від mathema — наука), наука, в якій вивчаються просторові форми і кількісні відносини.

До початку 17 ст. математика — переважно наука про числа, скалярні величини і порівняно прості геометричні фігури; величини (довжини, площі, об'єми та ін.), що вивчаються нею, розглядаються як постійні. До цього періоду відноситься виникнення арифметики, геометрії, пізніше — алгебри і тригонометрії і деяких часткових прийомів математичного аналізу. Областю застосування математики були: рахунок, торгівля, землемірні роботи, астрономія, частково архітектура.

У 17 і 18 ст. потреби природознавства, що бурхливо розвивалося, і техніки (мореплавства, астрономії, балістики, гідравліки і т. д.) привели до введення в математику ідей руху і зміни, перш за все у формі змінних величин і функціональної залежності між ними. Це спричинило за собою створення аналітичної геометрії, диференціального і інтегрального числень. У 18 ст. виникають і розвиваються теорія диференціальних рівнянь, диференціальна геометрія і т. д.

В 19—20 ст. математика піднімається на нові ступені абстракції. Звичайні величини і числа виявляються лише окремими випадками об'єктів, що вивчаються в сучасній алгебрі; геометрія переходить до дослідження «просторів», вельми окремим випадком яких є евклідовий простір. Розвиваються нові дисципліни: теорія функцій комплексної змінної, теорія груп, проектна геометрія, неевклідова геометрія, теорія множин, математична логіка, функціональний аналіз і ін.

Практичне освоєння результатів теоретичного математичного дослідження вимагає отримання відповіді на поставлене завдання в числовій формі. У зв'язку з цим в 19—20 ст. чисельні методи математики виокремлюються в самостійну її гілку — обчислювальну математику. Прагнення спростити і прискорити рішення ряду трудомістких обчислювальних завдань привело до створення обчислювальних машин. Потреби розвитку самої математики, «математизація» різних областей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки привели до появи цілого ряду нових математичних дисциплін. Серед них: теорія ігор, теорія інформації, теорія графів, дискретна математика, теорія оптимального управління.

Джерело: Статья А. Н. Колмогорова «Математика» (БСЭ).

Цікаві факти про математику

Чому Нобелівська премія не вручається за досягнення в математиці?

Існує думка, що Альфред Нобель не включив математику в список дисциплін своєї премії через те, що його дружина зрадила його з математиком. Насправді Нобель ніколи не був одружений. Справжня причина ігнорування математики Нобелем невідома, але є кілька припущень. Наприклад, на той момент вже існувала премія з математики від шведського короля. Інша — математики не роблять важливих винаходів для людства, так як ця наука має чисто теоретичний характер.

Чим наше число нуль відрізняється від західного?

У нашій математичній літературі нуль не є натуральним числом, а в західній, навпаки, належить до множини натуральних чисел.

Коли святкують день числа Пі?

У числа Пі є два неофіційних свята. Перше — 14 березня, оскільки цей день в Америці записується як 3.14. Друге — 22 липня, яке в європейському форматі записується 22/7, а значення такого дробу є досить популярним наближеним значенням числа Пі.

Хто вирішив складну математичну проблему, прийнявши її за домашнє завдання?

Американський математик Джордж Данціг, будучи аспірантом університету, одного разу спізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння за домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але через кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв’язані» проблеми в статистиці, над якими билося багато вчених умів.

Який математик осягав основи науки по шпалерах в кімнаті?

Софія Ковалевська познайомилася з математикою в ранньому дитинстві, коли на її кімнату не вистачило шпалер, замість яких були наклеєні листи з лекціями Остроградського про диференціальне та інтегральне числення.

Яка гра пов’язана з «числом диявола» («число звіра»)?

Сума всіх чисел на рулетці в казино дорівнює числу диявола — 666.

Де намагалися законодавчо округлити число Пі?

У штаті Індіана в 1897 році був випущений білль, який мав законодавчо встановити значення числа Пі рівним 3,2. Даний білль не став законом завдяки своєчасному втручанню професора університету.

Який математичний закон розкривається в теоремі про двох міліціонерів?

Деякі математичні закони називають по аналогії із ситуаціями в реальному житті. Наприклад, теорема про існування границі функції, яка «затиснута» між двома іншими функціями, що мають однакову границю, називається теоремою про двох міліціонерів. Це пояснюється тим, що якщо два міліціонера тримають між собою злочинця і при цьому йдуть в камеру, то ув’язнений також змушений йти туди.

Який знак замість плюса використовують учні ізраїльських шкіл?

Релігійні євреї прагнуть уникати християнської символіки і взагалі знаків, схожих на хрест. Наприклад, учні деяких ізраїльських шкіл замість знака «плюс» пишуть знак, що повторює перевернуту букву «т».

Михайло Пилипович Кравчук народився 27 вересня 1892 р. в селі Човниця Ківерцівського повіту на Волині в сім'ї землеміра. Батько його, Пилип Йосипович, син селянина-шевця, закінчив Петровсько-Розумовську академію (нині – Московська сільськогосподарська академія ім. К.Тимірязєва). Мати, Адельфіна Фрідріхівна, німкеня за походженням, була освіченою жінкою, вільно володіла польською, французькою, німецькою мовами, грала на фортепіано. Впродовж деякого часу, не маючи архівних даних, вважали, що її ім'я Фредеріка. У сім'ї Кравчуків розмовляли українською мовою, хоча діти вчили і польську, і французьку, і німецьку.

Після закінчення із золотою медаллю гімназії в Луцьку в 1910 р. Михайло Кравчук вступає на математичне відділення фізико-математичного факультету імператорського Університету Святого Володимира в місті Києві. Першими викладачами студента Михайла Кравчука були видатні математики В.П.Єрмаков, Д.О.Граве, Г.В.Пфейффер, Б.Я.Букреєв. Уже у студентські роки він опублікував перше самостійне дослідження з теорії комутативних матриць.

У 1914 р. М. Кравчук закінчує університет з дипломом І ступеня і за клопотанням професорів Граве та Букреєва залишається при університеті для підготовки до професорського звання.

Успішно склавши магістерські іспити, М. Кравчук 5 вересня 1917 р. прочитав свою першу (випробну) лекцію із предмету чистої математики "Про функції, що справджують теорему додавання" та лекцію з теорії множин і здобув звання приват-доцента. Він викладає математичні дисципліни в Українському народному університеті, політехнічному, архітектурному, ветеринарно-зоотехнічному та сільськогосподарському інститутах, у першій і другій українських гімназіях. У цей період М.П.Кравчук публікує свій курс лекцій з геометрії та перший переклад українською мовою відомого підручника з геометрії Кисельова, разом з академіком Федором Калиновичем укладає тритомник українського математичного словника.

У важкі роки громадянської війни М.П. Кравчук виїздить з молодою дружиною, Есфірою Йосипівною (1894–1957), в село Саварку Богуславського району, де працює з 1919 по 1921 рік директором школи та вчителем математики.

Повернувшись до університету, Михайло Пилипович поринув у наукову діяльність; він отримує низку фундаментальних результатів і в 1924 р. успішно захищає докторську дисертацію. У 1925 р. йому було присвоєно звання професора.

М.Кравчук був талановитим педагогом, серед його учнів були всесвітньо відомі у майбутньому конструктори ракетної та космічної техніки – академіки Архип Люлька, Сергій Корольов, Володимир Челомей.

У вересні 1928 р. М.Кравчук побував на Міжнародному математичному конгресі в Італії (Болонья), доповідав на засіданні Математичного товариства в Парижі. На конгресі встановив дружні стосунки з відомими вченими Франції, Італії, Німеччини: Ж. Адамаром, Р. Курантом, Ф. Трікомі, Т. Леві-Чівіта, Д. Гільбертом. Він також брав участь у математичному конгресі в Цюриху в 1932 р. з доповіддю про проблеми моментів.

У 1929 р., у віці 37-ми років М.П.Кравчук став наймолодшим академіком Всеукраїнської академії наук. Наступні вісім років виявилися найпліднішими у творчості М.Кравчука.

Він успішно розвинув метод найменших квадратів у теорії наближеного інтегрування диференціальних та інтегральних рівнянь. Переважна більшість праць М.П. Кравчука з теорії наближеного інтегрування різних типів диференціальних рівнянь присвячені розвиткові та застосуванню методу моментів. Отримані результати він узагальнив у фундаментальній двотомній монографії "Застосування способу моментів до розв'язання лінійних диференціальних та інтегральних рівнянь" (1936 р.). Перший том – це дослідження методу моментів у його застосуванні до наближеного розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь та систем цих диференціальних рівнянь. У другому томі розглядаються лінійні рівняння з частинними похідними математичної фізики.

У 2001 р. Іван Качановський (США) знайшов в архівах Смітсонівського Музею Американської історії у Вашингтоні та університету штату Айова в Еймсі переклад двох томів цієї монографії англійською мовою, виконаний американським математиком і фізиком, винахідником першого електронного комп'ютера Джоном Вінсентом Атанасовим. У 1937 р. в листі до академіка Кравчука Атанасов писав, що публікації українського математика виявились дуже корисними в його роботі, і він хотів би мати копії всіх праць вченого, вміщених в українських журналах. Проте відповіді не отримав...

14 вересня 1937 р. в газеті "Комуніст" було надруковано статтю "Академік Кравчук рекламує ворогів", підписану директором Інституту математики АН УРСР Д. Граве та науковим секретарем інституту К. Бреусом, у якій повідомлялось про те, що М. Кравчук позитивно оцінив праці математиків, заарештованих НКВС як "вороги народу", зокрема свого учня В. Можара. З'являються інші розгромні статті, проходять ганебні судилища в стінах політехнічного інституту і університету, від ученого відвертаються колишні колеги і аспіранти. Ставляться під сумнів його математичні досягнення, його таврують як прихованого націоналіста, який займається антирадянськими діями.

Небагатьом вистачило громадянської мужності стати на захист ученого. Серед таких сміливців були Й. Погребинський, Ю. Соколов, О. Смогоржевський, М. Чеботарьов, П. Бондаренко, В. Зморович.

21 лютого 1938 р. Михайла Пилиповича заарештували, провели обшук у квартирі його родини, а вже 23 лютого президія АН УРСР на чолі з президентом О. Богомольцем ухвалила рішення вивести М.П. Кравчука зі складу дійсних членів академії. 23 вересня 1938 р. "виїзна сесія" Військової колегії Верховного Суду СРСР визнала М.П. Кравчука  активним учасником і керівником націоналістичної організації і винесла вирок: 20 років тюремного ув'язнення і 5 років позбавлення політичних прав. Суд тривав 30 хвилин. В останньому слові вчений просив надати йому можливість закінчити розпочату справу з математики.

З Києва його відправили до Владивостока, звідти у трюмі суховантажного судна "Джума" до Магадана, а далі – у зловісні колимські копальні.

Зі спогадів колишнього в'язня Миколи Попова: "У цих жахливих умовах зустрів я в 1942 році на Мальдяку українського академіка, знаменитого математика Михайла Пилиповича Кравчука. Було йому, мабуть, літ п'ятдесят. Повернувшись із шахти, він улаштовувався біля залізної пічки, діставав свої папери, робив записи – якісь математичні викладки. Добре пам'ятаю, що свої труди він періодично здавав табірному політкерівнику – лише за таких умов йому вдалось добитись дозволу на заняття такою справою..." "Я здійснив велике математичне відкриття, над яким працював 20 років", – написав з Колими вчений своїй дружині, але рукопис цей зник.

9 березня 1942 року академіка Кравчука не стало…

Після багатьох клопотань дружини, Есфіри Йосипівни, у 1956 р. М.П. Кравчук був реабілітований "за відсутністю складу злочину". Проте ім'я його довгі роки замовчувалось.

Лише у 1967–1968 рр. до 75-річчя з дня народження великого математика з'явилися перші публікації про нього: брошура М.О.Сороки "Поет німого числа", статті Н.О. Вірченко, В.О. Добровольського та ін.

Справжнім натхненником справи повернення з небуття імені Михайла Кравчука стала Ніна Опанасівна Вірченко. Близько півсторіччя тому, працюючи в Київському університеті, вона натрапила на згадки про наукову діяльність М. Кравчука, почала вивчати його праці, розпорошені по журналах, і її метою стало зробити все можливе, щоб його ім'я посіло належне місце серед плеяди видатних математиків.

Повною мірою вдалося це здійснити після здобуття Україною незалежності. У 1992 р. ім'я Михайла Кравчука було занесене ЮНЕСКО до Міжнародного календаря визначних наукових діячів. З ініціативи Ніни Вірченко в 1992 р. відбулася перша Міжнародна наукова конференція імені Михайла Кравчука, присвячена 100-річчю з дня його народження. Завдяки її подвижницькій діяльності ці конференції стали найбільш масштабними в нашому університеті. Часом у них брали участь до тисячі науковців з більш ніж двадцяти країн. З ініціативи Н. Вірченко у  2002 р. в нашому університеті відкрито аудиторію імені Михайла Кравчука, у 2003 р. – пам'ятник видатному вченому, у 2009 р. його іменем названо одну з київських вулиць. Також видано науково-популярні праці М. Кравчука (2000 р., 232 стор., укладач Н. Вірченко), "Вибрані математичні праці" (2002 р., 800 стор., упорядник Н. Вірченко), "Розвиток математичних ідей Михайла Кравчука" (2004 р., 850 стор., упорядники Н. Вірченко, І. Качановський, В. Гайдей, Р. Андрушків, Р. Воронка). У 2004 р. знято документальний фільм "Голгофа академіка Кравчука" (2004 р.). У 2012 р. відбулась Ювілейна сесія Загальних зборів Національної академії наук України, присвячена 120-ій річниці від дня народження академіка М.П. Кравчука. В усіх цих великих справах – частина серця Ніни Вірченко, яку називають духовною донькою Михайла Кравчука.

Що відомо про Марину В’язовську

Марина В’язовська народилася і виросла в Києві. Там вона навчалась у Київському природничо-науковому ліцеї № 145, беручи участь у математичних олімпіадах. Батько Марини був хіміком і на рубежі 80-х і 90-х років працював на заводі ім. Антонова. Дівчина закінчила механіко-математичний факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка, де була найкращою студенткою курсу.

В 2002—2005 роках займала призові місця на Міжнародній студентській олімпіаді з математики. Далі дівчина продовжила навчання в Німеччині, здобувши в 2007 році ступінь магістра у Кайзерслаутерні. Зараз українка, разом з чоловіком Даніілом Євтушинським, працює у Федеральній політехнічній школі у Лозанні (аналог нашого політехнічного університету — ред.). 

В сюжеті ТСН від лютого 2017-го року, Марина називає математчні задачі «приємними і красивими». Роком раніше її вдалося розв’язати задачу про пакування шарів у 8-вимірному просторі. За це вона отримала престижну «премію Салема» — як передтечу медалі Філдса — яку щороку вручають молодому математику за видатні досягнення в галузі. Тоді Марина викладала в Берлінському університеті.

За що українці дали престижну премію? В’язовська науково з’ясувала, як найщільніше розмістити точки у 8- та 24-вимірних просторах. Раніше математики здійснили лише перший крок для доведення, однак Марина прийшла до універсальнішого доведення, що зробило її роботу більш значущою.

В’язовська науково з’ясувала, як найщільніше розмістити точки у 8- та 24-вимірних просторах. Раніше математики здійснили лише перший крок для доведення, однак Марина прийшла до універсальнішого доведення, що зробило її роботу більш значущою.

У фізичному світі це може бути, наприклад, «нескінченний» набір електронів, які відштовхуються один від іншого з метою встановити конфігурацію якнайменшої густини. Або точки, що представляють центри довгих закручених полімерів у розчині, які намагаються не склеїтися докупи.

 Математики вивчають проблему розміщення сфер у тривимірному просторі ще з 1611 року. Але саме Марині вдалося найефективніше розмістити їх так, щоб вільного місця лишилося найменше з усіх можливих варіантів.

В’язовська не живе в Україні, але її родина залишилася тут. З початком повномасштабної війни, дві її сестри, 9-річна племінниця і 8-річний племінник, були змушені вирушитии до Швейцарії, де зараз проживає Марина. Також в Києві залишилися батьки В’язовської, та 85-річна бабуся, яка пережила Другу світову війну. 

Син-підліток Марини — Майкл, знає, що його матір отримала багато нагород з математики, але був здивований, почувши про медаль Філдса, сказавши: «Тепер я розумію, чому вона так багато працювала».

Олексій Погорєлов народився у селянській сім'ї у селі Короча (нині Білгородська область). Його родина мала невелике господарство – корову, коня, трохи землі. Під час сталінської колективізації отець Василь Погорєлов відмовився вступати до колгоспу, тому був «розкулачений». У сім'ї забрали власність і вона переїхала до Харкова, де батько пішов працювати на будівництво одного з перших радянських гігантів — Харківського тракторного заводу. Після того, як завод ввели в експлуатацію, він залишився працювати там ковалем.

Сім'я з 4 осіб тулилася в тісній кімнатці холодного бараку. Батько працював ночами, щоб його домочадці могли спати вночі, а сам відсипався вдень. Побут, одяг та їжа були дуже мізерними. Втішно було лише те, що син та дочка навчалися у новій школі району ХТЗ (зараз це школа № 80).

Погорєлов прямував до аудиторії, де мав приймати залік, і де помічник вже дав завдання декільком студентам. Один з тих, хто чекав, підняв просунутий з-під дверей аудиторії листок з умовою завдання, і звернувся до Погорєлова, прийнявши того за студента, з питанням, чи може він вирішити завдання.Олексій вирішив і віддав студенту, а потім під здивованим поглядом «допомагаючого» увійшов до аудиторії і почав приймати залік.

Син Олексій відразу виявив надзвичайні здібності до навчання, особливо до точних наук. Він став переможцем математичної олімпіади серед школярів, яку проводив Харківський університет. За математичний талант і глибокі знання однолітки дали йому прізвисько Паскаль. Можливо, перемога на олімпіаді чи знайомство з молодим, але вже відомим харківським математиком Наумом Ахієзером спонукало його до вступу у 1937 році на фізико-математичний факультет Харківського університету.

Батьки сумнівалися у його виборі — син чудово малював і міг стати видатним художником. Але найкращий студент курсу захопився математикою і був нею повністю поглинений. Він захоплено допомагав розібратися у важких завданнях сусідові по комунальній квартирі. Пізніше той захистив кандидатську дисертацію з технічних наук, став доцентом Харківської академії міського господарства та з вдячністю згадував друга, який допомагав йому пробиратися через ліс тангенсів та котангенсів.

З цих років Погорєлов був повністю занурений у геометричні дослідження, напружено і завзято працюючи, називаючи себе «пересічною науки».

Як згадував ленінградський геометр Віктор Залгаллер, який відвідав зі своєю родиною Погорєлова у 1963 році дорогою до Криму, його дружина Тамара, жартома, розповіла, що їй на танцмайданчику сподобався гарний, підтягнутий молодий чоловік у формі військового льотчика. До того ж він чудово танцював. Але він виявився вченим. Коли справа доходила до чергової публікації чи підготовки книги, чоловік замикався у своєму кабінеті, а дружині доводилося його бачити, лише приносячи їжу. Тамара була гостинною господинею та гарним кулінарам: гостей підкорили найсмачніші вареники з вишнями зі сметаною, яких вона готувала величезний таз.

Результати роботи Погорєлов отримував швидко і вони були глибоко обґрунтованими. У 1946 році Олексій Погорєлов захистив кандидатську дисертацію про квазігеодезичні лінії на загальних опуклих поверхнях. Висновки були настільки значні, що розширивши та поглибивши це дослідження, він через два роки захистив докторську дисертацію. Публікацію монографії на цю тему було через рік відзначено Сталінською премією.Згодом його учні жартували, що за сучасних вимог до захисту дисертацій, Погорєлов не зміг би захиститися, оскільки порушив суворі бюрократичні вимоги: обидві роботи були на одну тему, автор мав лише одну публікацію тощо. Але ця робота коштувала кількох дисертацій.

У 1947 році Погорєлов демобілізувався і повернувся до Харкова, хоча його запрошували залишитися в Москві, Олександров кликав до себе в Ленінград, а Новосибірський науковий центр також робив привабливі пропозиції. У свої 32 роки Погорєлов був обраний член-кореспондентом, у 41 рік – академіком АН УРСР та член-кореспондентом АН СРСР, а у 57 років – академіком АН СРСР. Але Олексій дуже любив місто своєї юності і не хотів з ним розлучатися. Тільки один раз він поступився своєму вчителю Олександрову, який з 1951 став ректором Ленінградського університету, і приїхав до нього читати лекції в 1955-1956 навчальному році.

Олексій Погорєлов мав багато талантів. Він не лише любив танцювати, а й співати, особливо українські пісні. Добре знаючи українську мову, він завжди потішався з того, що його друзі не могли правильно вимовити слово «паляниця».

У Харківському університеті він працював у науково-дослідному інституті математики та механіки, а також на кафедрі геометрії викладав геометричні курси. Погорєлов зарекомендував себе як чудовий, вдумливий, цікавий педагог, якому студентська поголос приписувала безліч кумедних історій.

Ось одна з них. Погорєлов прямував до аудиторії, де мав приймати залік, і де помічник вже дав завдання декільком студентам.Один з тих, хто чекав, підняв просунутий з-під дверей аудиторії листок з умовою завдання, і звернувся до Погорєлова, прийнявши того за студента, з питанням, чи може він вирішити завдання. Олексій вирішив і віддав студенту, а потім під здивованим поглядом «допомагаючого» увійшов до аудиторії і почав приймати залік.

Читаючи лекції, Погорєлов часто так захоплювався, що починав розглядати невирішені проблеми геометрії. Це відводило його від теми лекції, він збивався, і тоді відкривав підручник, який сам і написав, примовляючи: «А подивимося, що з цього приводу думає автор підручника».

Студенти-математики, які навчалися у Погорєлова, із захопленням передавали один одному легенду про те, що знамениту четверту проблему Гільберта Погорєлов вирішив у тролейбусі. З цього приводу друг Погорєлова академік Володимир Марченко говорив, що все можливе. Вчений думає над проблемою за будь-яких умов, наприклад, на риболовлі, на полюванні, якими захоплювався Олексій, чи у транспорті. І не важливо, де і як була відкрита таємниця, головне, що проблему було вирішено.

Успіх посміхався далеко не всім, хто намагався впоратися з однією з 23 математичних (у тому числі одна – фізична) проблем, сформульованих видатним ученим Давидом Гільбертом у 1900 році. Рішенню піддалися лише 16. Дослідження однієї з них описано у книзі «Четверта проблема Гільберта» (1974) Погореловим. Видатний американський геометр Герберт Буземан назвав результат Погорєлова «виключно витонченим», заснованим на єдиній конструкції в галузі інтегральної геометрії.  Цікаво, що цей математик спеціально вивчив російську мову, щоб у оригіналі читати праці Александрова та Погорєлова. Перший заклав теоретичні основи геометрії опуклих поверхонь, а другий розвинув цю теорію.

Головним напрямом розробок Погорєлова була «геометрія в цілому», яка поєднувала фундаментальні основи різних геометрій: від евклідової до найсучасніших розділів. Якщо Александров займався зовнішніми поверхнями, його учень зосередився на поверхнях внутрішніх.

Усьому світу відомі такі його досягнення, як вирішення багатовимірної проблеми Мінковського, розробка загальної геометричної теорії рівнянь Монжа-Ампера для просторів різних вимірів, поглиблення теорії G-простору Буземана. Характерно, що Олексій працював самостійно, без співавторів. Кожне його дослідження давало напрямок для подальших пошуків, і закінчувалося узагальнюючою монографією. Таких праць він видав близько 20, вони мали солідний обсяг, наприклад «Зовнішня геометрія опуклих поверхонь» (1969) складалася з 760 сторінок. Багато книг Олексія були відразу перекладені іноземними мовами.

Роботи Погорєлова мають важливе прикладне значення, як, наприклад, заснована ним теорія оболонок. Оболонка – це силова конструкція, що зміцнює, для багатьох сучасних машин, літаків, кораблів. Для проектування надійного та міцного захисту потрібні відповідні розрахунки, що базуються на логічній теорії, яку розробив Олексій.

Олексій замислювався і над побутовими технічними проблемами. На Сталінську премію він придбав авто «Перемога», яке служило йому три десятиліття. Постійно удосконалив її конструкцію, зміг навіть встановити двигун від «Волги». Люблячи лов риби, він винайшов безінерційну котушку для спінінга, займаючись фотографією, отримав патент на дзеркальний коректор.

Продовжуючи викладати, Погорєлов дуже вимогливо ставився до підготовки лекцій, тому сам написав підручники зі своїх курсів. Він не лише створював посібники для викладачів та студентів, а й підручники для школи.Коли реформа математики в середній школі, ініційована Андрієм Колмогоровим, не виправдала надій, ряду видатних учених було запропоновано зайнятися складанням програм та розробкою математичних засад. До цієї роботи було залучено Олександров і Погорєлов. Олексій, як завжди, відмовився від роботи разом і незабаром зрозумів, що одними аксіоматичними основами не обійтися, а треба створювати цілісний шкільний курс геометрії.

Погорєлов зі своїм учителем часто сперечався про вихідні принципи, і одного разу на підходах до будинку Єфімова, куди вони прямували, друзі-суперники навіть перейшли на підвищені тони. Але вчасно схаменулися, і домовилися, що прийдуть до господаря спокійні та веселі. В результаті вчитель та учень, рухаючись різними шляхами, створили оригінальні підручники. І хоча на Всесоюзному конкурсі підручник групи Левона Атанасяна, створений на традиційних методичних засадах, посів перше місце, підручники Погорєлова – друге, а Олександрова – третє, за погоріллівською «Геометрією» з 1982 по 2008 рік навчалося не одне покоління учнів. Його підручники відзначили премією імені А. Макаренка. Підручник Олександрова використовували у школах із фізико-математичним ухилом.

Олексій Погорєлов мав багато талантів. Він не лише любив танцювати, а й співати, особливо українські пісні. Добре знаючи українську мову, він завжди потішався з того, що його друзі не могли правильно вимовити слово «паляниця». Часто співав жартівливі пісні у дуеті з Юхимовим. Якось він привів у компанію свого аспіранта О. Медяніка, який мав чудовий голос. Коли той заспівав, Погорєлов зауважив: «Якщо так гарно співає учень, то уявіть, як співає вчитель!».

Свої таланти він сприймав як обов'язок наполегливо працювати. Силу його думки один із біографів порівняв із відбійним молотком, що пробиває стіну невирішеної проблеми. Його праці були відзначені багатьма преміями: Міжнародною імені М. Лобачевського (1959), Ленінською (1962), преміями України: Державними (1974, 2005), імені М. Крилова (1973), ім. М. Боголюбова (1998), чотирма орденами. Олексій Погорєлов був також депутатом Верховної Ради України.

Після смерті дружини Погорєлов у віці 81 року переїхав до Москви, до єдиного сина та онуків. Два роки працював у МІАН ім. В. Стеклова. Він пішов із життя 17 грудня 2002 року.

Харків'яни та вчена спільнота пам'ятають видатного вченого, який багато в чому визначив подальший розвиток геометрії. На будівлі Харківського університету встановлено на його честь пам'ятну дошку, вулицю Червонозоряну перейменовано на вулицю академіка Погорєлова, на його честь названо одного з астероїдів, засновано премію Академії наук України імені О. Погорєлова за роботи з геометрії та топології

Особлива привабливість історії математики

     Основою основ науково-технічного прогресу є дальший розвиток науки, зокрема математики, прикладне значення якої дуже велике. А всебічний розвиток будь-якої науки неможливий без глибокого аналізу її історії.

     До минулого звертаються з різних причин. Лейбніц, наприклад, застерігав, що хто хоче обмежитися сучасним без знання минулого, той ніколи не зрозуміє сучасного.

     Історія математики має особливу привабливість. Задачі й теореми, доведені сотні і тисячі років тому, захоплюють нас своєю красою, витонченістю логічних міркувань так само, як захоплювали всі попередні покоління.

     Перегортаючи сторінки минулого науки, ми переконуємося, що найбільші поклади математичних ідей, понять, задач, які потім об'єднувались у теорії, містяться у практичній діяльності людини. Вони відлиті в сучасні форми теоретичною думкою вчених різних епох і народів. Водночас пошуки розв'язків багатьох математичних задач не раз приводили вчених до відкриття нових математичних фактів.

     Ось що писав у 1729 р. член Петербурзької Академії наук Георг Крафт (1701—1754) про тисячолітні спроби розв'язати стародавню задачу квадратури круга: «Якщо в питанні нашому до історії наук звернемося, то зізнаємося, що найпрекрасніші винаходи, які ми нині знаємо, не заради того винайдені, що їх шукали, а тому, що інше щось марно шукали, а тим часом деякі попалися, неначе незвані гості, самі прийшли і з собою велику користь принесли. Так і в цьому питанні сподіватися можна, що швидше щось незнане в зв'язку з квадратурою циркуля знайдеться, ніж вона сама».

Крафт не помилявся. На довгому шляху пошуків квадратури круга вчені не тільки довели нерозв'язність цієї задачі в класичному формулюванні, а й відкрили надзвичайно багато важливих математичних залежностей, несподіваних глибинних закономірностей у світі чисел, геометричних фігур та інших математичних об'єктів.

     Зрозуміло, що багато задач, надзвичайно важливих для самої математики, не доступні учням середньої школи, і ми можемо тільки назвати або переказати їх. Це задачі, поставлені потребами практики або логікою розвитку самої математики. Вони відкривали нові сторінки науки і поступалися лише перед зусиллями видатних вчених. Над деякими такими задачами доводилося працювати роками. Ось як писав про свої пошуки розв'язку однієї задачі великий німецький математик Фрідріх Гаусс (1777—1855): «Протягом чотирьох років рідко проходив тиждень, коли б я не робив тієї або іншої спроби розв'язати цей вузол. Але всі намагання, усі зусилля були марні, і сумно я клав перо. А недавно ... загадка розв'язалася із швидкістю блискавки ... І коли я викладу це питання, ніхто не зможе уявити собі, якого напруження коштувало мені це розв'язання». Звичайно, такі завдання не під силу навіть для найзаповзятливіших юних любителів математики.

     Розв'язання кожної задачі є не тільки відкриттям нового факту, а й задоволенням наукової допитли­вості, часто бажанням завбачити майбутнє. Траплялося, що значення задачі для науки неможливо було визначити, поки вона не була розв'язана. Часто великі математики ставили важливі задачі, не знаючи їх розв'язання. Проте математики завжди наступали. Нерозв'язані задачі привертали особливу увагу вчених. Адже спроби розв'язати їх часто спричинялися до відкриття нових теорій.

     Досить назвати три знамениті задачі давнини, спроби довести V постулат Евкліда, велику теорему Ферма та ін.

Наприклад, для математиків стародавньої Греції відкриття Гіппократом Хіоським (V ст. до н. е.) квадрованих серпків було видатним математичним досягненням. Сьогодні ця задача пропонується для молодших школярів. Задача ж про всі можливі квадровані серпки виявилася надзвичайно складною, її розв'язав математик М. Г. Чеботарьов (1894—1947).

     Працюючи над задачами далеких епох, не варто, звичайно, ідеалізувати чи надто суворо критикувати минуле. Ньютон зазначав, що він не досягнув би своїх епохальних відкриттів, коли б не стояв на плечах гігантів. Величний зліт математики XX століття теж має своєю основою працю тисяч і тисяч відомих і безіменних трудівників великого цеху математики, який працює вже кілька тисячоліть.

     Захоплення красою математичної творчості надихає вчених і математиків-любителів на пошук все нових доведень уже доведених теорем, нових способів розв'язування давно розв'язаних задач. Від часів античної Греції до наших днів не припиняється потік нових доведень знаменитої теореми Піфагора, тощо.

Джерело: А. Г. Конфорович. Визначні математичні задачі. Київ, 1981.

Квадратура круга. Історична довідка

Постановка задачі: За допомогою лише циркуля і лінійки без поділок, за скінченне число операцій побудувати квадрат, рівновеликий даному кругу.

Найбільш древня і популярна серед знаменитих математичних задач. Учені різних часів, відшукуючи її розв'язання, збагатили математику цілою низкою видатних відкриттів.

У 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман (1852-1939) розкрив найбільшу таємницю числа п - довів, що воно трансцендентне. Звідси випливало, що в класичній постановці задача квадратури круга нерозв'язна.

На той час учені відкрили вже багато красивих некласичних квадратур круга. Можливо, найдавнішу з них знайшов учень Евдокса Кнідського - Дінострат (IV ст. до н. е.). Для цього він використав трансцендентну криву, відкриту Гіппіем із Бліди (V ст. до н. е.) для розв'язування задачі трисекції. Цю криву Г.-В. Лейбніц (1646-1716) назвав квадратрисою.

Творці математики з України

Біографії видатних українських математиків.

• М.В. Остроградський — видатний математик

• Георгій Вороний — український математик

• Левицький Володимир Йосипович — вчений-математик

• Слуцький Євген Євгенович (1880 — 1948) — економіст, статистик і математик

• Микола Андрійович Чайковський. Життя для народу

• Мирон Зарицький (1889 — 1961)

• Стефан Банах

• Кравчук Михайло Пилипович — видатний український математик

• Боголюбов Микола Миколайович — український математик, механік, фізик

• Глушков Віктор Михайлович — вчений, кібернетик, математик

Джерело: 

Вивчення творів Ейлера буде найкращою школою в різних галузях математики, і ніщо інше не може замінити його.

(Карл Гаусс, німецький математик)

Читайте, читайте, читайте Ейлера! Він усім нам учитель!

(П’єр Лаплас, французький математик і астроном)

Діяльність Ейлера багатогранна і різностороння. Він займався майже всім, що цікавило тоді математиків.

(Сергій Вавилов, російський фізик)

...для Ейлера аніскільки не були обтяжливими обчислення, і ніякі формули, які б вони не були неосяжні, ніколи не утруднювали його: такою була прозірливість Ейлера, що найбільш громіздка формула гнулась в його сильних руках, як м'який віск, і слухняно давала під його зусиллями все, що вгадувала в ній його проникливість. Можна без перебільшення сказати, що в очах Ейлера математичні формули жили своїм власним життям і розповідали найглибші речі про явища природи і що йому досить було лише доторкнутись до формул, щоб вони з німих перетворились на такі, що говорять і дають відповіді, сповнені глибокого змісту.

(Микола Лузін, російський математик)

Кому не відоме ім'я Ейлера? Хто ще на шкільній лаві не звик дивитись на ім'я Ейлера в сузір'ї імен Гюйгенса, Ферма, Лейбніца, Ньютона, Бернуллі, д'Аламбера? Але мало хто з учених знає, яка значна була стихійна творча сила цієї людини, що зближувала його з такими людьми XVI ст., якими були Леонардо да Вінчі і Мікеланджело. І мало хто навіть з математиків знає, наскільки міцними зв'язками з'єднані вони і зараз з працями Ейлера і з якою силою тяжіє над ними навіть тепер думка Ейлера.

(Микола Лузін, російський математик)

Ейлер належить до числа геніїв, чия творчість стала надбанням всього людства.

(Михайло Лаврентьєв, російський математик)

Ейлер був насамперед математиком, який сприймав і розвивав математику як єдине ціле, але він знав, що ґрунтом, на якому розквітає математика, є практична діяльність.

(Михайло Лаврентьєв, російський математик)

...ми шануємо в Ейлері великого вченого, який дав могутній поштовх розвитку математики, як найважливішого засобу дослідження природознавства і техніки і підкорення природи людиною.

(Михайло Лаврентьєв, російський математик)

Із самого початку, який можна зв'язати з появою (опублікуванням) близько 100 років тому праці Леонарда Ейлера з математичної теорії кровообігу, математична біологія розвивалася майже виключно завдяки розробці фізико-математичних і суто формальних математичних моделей різних біологічних явищ.

(Н. Крашевський, американський учений)

Ейлер обчислював без усякого видимого зусилля, як люди дихають, як орли тримаються в повітрі.

(Домінік Араго, французький астроном і фізик)

Ейлер вніс значний внесок буквально в усі області математики. Деякі з його найпростіших відкриттів такі, що можна уявити собі дух Евкліда, запитавши: «Чому за життя на Землі я не додумався до цього?».

(Гарольд Кокстер, англійський математик)

...створивши нові методи, показавши їх застосування до розв'язання нових питань, Ейлер, так би мовити, проклав нові шляхи для швидкого руху науки вперед. За ним ідуть такі великі математики, як Лагранж, Лаплас, Лежандр, Гаусс, Коші, Пуассон, Якобі, Абель і багато інших, а якою мірою вони високо ставили Ейлера, можна судити із слів Лапласа: «Читайте Ейлера, читайте, — він учитель усіх нас».

(Олексій Крилов, російський математик)

Ейлерова слава й популярність є наслідок не тільки незрівнянної сили його генія. До них спричинилась надзвичайна ширина його засягу в науці; важко вказати таку ділянку математичних наук, де б він не утворив нової галузі або могутньо не посунув наперед її розвиток. Цей, за висловом д'Аламбера, «диявол у людській подобі», натворив за своє життя (при тім довгі роки у сліпому стані) більше, аніж за цей час середня людина могла б просто списати.

(Михайло Кравчук, український математик)

7 чисел, які є не менш дивовижнішими, ніж пі

Крім числа π (пі), математичної константи, що виражає відношення довжини кола до довжини його діаметру, існує ще багато не менш важливих і цікавих чисел, без яких в обчислювальних науках просто не обійтися. Пропонуємо вам підбірку семи найдивовижніших.

1 — одиниця

Одиниця — це перше ненульове ціле число. Більше того, воно — свій власний квадрат, куб і факторіал. Якщо ви піднесете одиницю в будь-яку степінь, все одно отримаєте одиницю. Це перше і друге число в послідовності Фібоначчі. Одиниця не є ні простим, ні складеним числом, і це єдине позитивне число, яке ділиться тільки на одне позитивне число.

i — уявна одиниця

Уявна одиниця — це комплексне число, квадрат якого дорівнює -1. Колись уявні числа вважалися даремними, але в епоху Просвітництва стали широко застосовуватися в математиці. Їх застосовували у своїй роботі Леонард Ейлер, Карл Гаусс, і Каспар Вессель. Такі числа можуть бути використані для знаходження квадратного кореня з від'ємного числа.

В наші дні уявна одиниця широко використовується в обробці сигналів, теоріях управління та електромагнетизму, гідродинаміки, квантової механіки, картографії та аналізі вібрації. Часто це число позначається як j для представлення поля електричного струму. i також з'являється в декількох формулах, в тому числі тотожність Ейлера.

Число Грема

Найбільше корисне число, відоме математикам, названо на честь Рональда Грема. Воно є верхньою межею для вирішення певної проблеми в теорії Рамсея — розділі математики , що вивчає умови, при яких в довільно сформованих математичних об'єктах зобов'язаний з'явитися деякий порядок. Іншими словами, це найбільше число, яке використовується для серйозного математичного доведення.

Число Грема виникає при різних математичних діях з трійкою. Число Грема настільки велике, що навіть якби вся речовина відомого нам Всесвіту була перетворено в чорнило, цього б не вистачило, щоб записати його. Так що математики просто використовують спеціальні значення, розроблені Дональдом Кнутом.

0 — нуль

Число 0 виконує безліч важливих функцій, наприклад, означає порожнє місце, або якусь границю у нашій системі числення.

Ділити на нуль не можна, але він відіграє важливу роль в рівняннях, де необхідно додавання, віднімання і множення. А якщо піднести будь-яке число в нульову степінь, результатом завжди буде одиниця. Якщо ж піднести нуль в будь-яку степінь, то вийде нуль.

Нуль не є ні позитивним, ні негативним, але, тим не менш, це — ціле число.

e — число Ейлера

e — це важлива математична константа, ірраціональне число. Воно виглядає так: 2,71828182845904523536... Це основа натуральних логарифмів в системі, яку створив Джон Непер, і це — не алгебраїчне число, а трансцендентна константа (як і число пі ) . Зараз вчені обчислили e до трильйона знаків після коми.

e використовується в економіці при розрахунку банківських відсотків. Наприклад, якщо ви інвестуєте 1 гривню за процентною ставкою в 100% річних, і відсоткова ставка буде постійно зростати, то до кінця року ви отримаєте 2,71828 гривні. Також e використовується в теорії ймовірності, випробуванні за схемою Бернуллі, психіатрії та асимптотиці.

Ʈ — тау

Ʈ — це просто 2π, або константа, що дорівнює відношенню довжини кола до її радіусу. Таким чином, тау записується як 6.283185...

19-ту букву грецького алфавіту вибрав для позначення 2π Майкл Хартл — фізик, математик і автор «Маніфесту Тау». Іноді Ʈ буває корисніше π при вимірюванні кіл, в тих випадках, коли замість градусів використовуються радіани, також це число більш «натуральне», ніж π, тому воно зручніше для використання в геометрії, тригонометрії і навіть вищій математиці.

ȹ — фі

Також відоме як золотий перетин, ȹ — важливий математичний об'єкт, і записується він як 1,6180339887... Фі — це результат вирішення квадратного рівняння, але являє собою геометричну конструкцію. Золотий перетин виникає при діленні безперервної величини на дві частини таким чином, що менша частина так відноситься до більшої, як велика до всієї величини.

Завдяки своїм унікальним властивостям, ȹ використовується в мистецтві та архітектурі. У художників епохи Відродження це число вважалося Божественною пропорцією.

Джерело: http://www.publy.ru/post/2055