Основи геометрії

Мета та завдання навчальної дисципліни

Метою викладання навчальної дисципліни «Основи геометрії» є ознайомлення студентів з аксіоматичним методом, сприяння формуванню у студентів професійних вмінь, необхідних для викладання елементів аксіоматичного методу в шкільному курсі геометрії. Ідейно-теоретична спрямованість курсу полягає в формуванні наукового світогляду майбутнього вчителя математики.

Завданням даної дисципліни є оволодіння студентами сучасними методами і апаратом дослідження аксіоматичної побудови класичних геометричних дисциплін, їх взаємозв’язку з сучасною геометрією.

В результаті вивчення даного курсу студент повинен

знати: основні поняття і складові аксіоматичної теорії, основи методу інтерпретацій, системи аксіом Вейля, Гільберта і О. В. Погорєлова евклідової геометрії, іх взаємну еквівалентність, системи аксіом проективної геометрії і геометрії Лобачевского, аксіоматичну будову евклідового і проективного просторів, гіперболічного і еліптичного просторів;

вміти: формувати і доводити основні наслідки системи аксіом О. В. Погорєлова евклідової геометрії, засновувати ці результати до задач шкільної геометрії, будувати моделі систем аксіом евклідової геометрії, а також геометрій Лобачевского і Рімана.

Модуль 1. Аксіоматична побудова евклідової геометрії.

Тема 1.1. Історичний огляд розвитку основ геометрії та виникнення

неевклідової   геометрії.

Геометрія до Евкліда. “Початки” Евкліда та їх значення в історії культури. Спроби доведення п’ятого постулату. Твердження, еквівалентні п’ятому постулату. Попередники  неевклідової геометрії. Творці неевклідової геометрії: М.І.Лобачевський, Я.Бойяї, К.Ф.Гаусс. Д.Гільберт  та створення  повної системи аксіом евклідової геометрії.

Тема 1.2. Аксіоматична побудова евклідової геометрії.

Огляд системи аксіом Д.Гільберта. Векторна модель Г.Вейля. Означення деяких геометричних понять в системі Вейля. Приклади доведення теорем. Система аксіом О.В.Погорєлова. Аксіоматика шкільного курсу геометрії О.В.Погорєлова, О.Д.Александрова,  Г.П.Бевза.

Тема 1.3. Дослідження системи аксіом евклідової геометрії О.В.Погорєлова.

Означення та доведення несуперечності, незалежності і повноти системи аксіом в декартовій реалізації.

Модуль 2. Неевклідові геометрії.

Тема 2.1. Аксіоматика та деякі факти геометрії Лобачевського.

Деякі теореми абсолютної геометрії. Аксіома Лобачевського та означення паралельних прямих на площині Лобачевського. Кут та відрізок паралельності. Функція Лобачевського. Паралельні прямі та їх властивості. Розбіжні прямі та їх властивості. Сума кутів трикутника. Еквідистанта та орицикл. Еквідистантна поверхня і орисфера. Моделі площини Лобачевського. Несуперечність геометрії Лобачевського. Незалежність аксіоми паралельних.

Тема 2.2. Аксіоматичний метод в математиці

Різні поняття аксіоматики. Аксіоми як означення. Поняття інтерпретації, несуперечності, незалежності і повноти системи аксіом Теореми Геделя про неповноту. Неповні системи аксіом: поняття групи, метричного та топологічного простору.

Тема 2.3. Елементи сферичної геометрії. 

Поняття про еліптичну геометрію Рімана. Теоретико-групові принципи в геометрії.