Вибрані питання алгебри та геометрії

Робоча програма дисципліни "Вибрані питання алгебри та геометрії"

Силабус дисципліни "Вибрані питання алгебри та геометрії"

Мета та завдання навчальної дисципліни

Метою викладання навчальної дисципліни «Вибрані питання алгебри та геометрії» є ознайомлення студентів із методами досліджень в сучасній алгебрі, розширення пов’язаних з вивченням фундаментальних дисциплін компетенцій; ознайомлення студентів із дослідженнями сучасної математики, застосуваннями алгебраїчних структур у сучасній геометрії та топології; систематизація знань та набуття навичок застосування методів векторної алгебри та аналітичної геометрії для розв’язання геометричних задач.

Основними завданнями вивчення дисципліни «Вибрані питання алгебри та геометрії» є

•   поглиблення знань, набутих при вивченні алгебраїчних структур на бакалаврському рівні;

•   удосконалення навичок використання алгебраїчної мови, яка пов’язує між собою всі фундаментальні дисципліни;

•   набуття навичок дослідницької роботи, пов’язанної з використанням алгебраїчних структур.

• показати практичну значущість властивостей пучків і зв'язок кіл та інверсії, їх застосовність до розв’язання найрізноманітніших геометричних задач, зокрема на побудову;

• забезпечити ґрунтовне вивчення (засвоєння) здобувачами тих понять, ідей і методів спецкурсу, які можуть бути використані ними під час викладання шкільного курсу геометрії та проведення позакласних занять з математики;

•   розширити та поглибити знання здобувачів про геометричні перетворення та їх інваріанти;

•   підвищити рівень загальної культури доведення тверджень елементарної геометрії та геометричних побудов і креслень.

•    ознайомлення студентів із: 

-     методами сучасної алгебри та геометрії;

-     актуальними розділами сучасної алгебри та геометрії;

-     основними нерозв’язаними проблемами сучасної алгебри та геометрії;

•     набуття навичок:

-    вести дискусію з питань сучасної алгебри та геометрії;

-    підготовки невеликих повідомлень з питань сучасної алгебри та геометрії;

-    користування інформаційними джерелами та обробки вилученої з різних джерел інформації.

Модуль 1. Вибрані питання алгебри

Тема 1. Алгебраїчні рівняння.

Метод Кардано для рішення кубічного рівняння.  Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння.  Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня.  Метод заміни рівняння системою двох рівнянь. Розв’язування рівнянь у цілих числах.  Однорідні ірраціональні рівняння. Розкладання на множники. Рівняння з кубічними ірраціональностями. Заміна радикалів новими невідомими. Рівняння з модулями.  Системи ірраціональних рівнянь

Тема 2. Задачі та рівняння з параметром 

 Уведення параметра замість сталого коефіцієнта. Квадратні рівняння з параметром. Графічне розв’язування рівнянь із параметрами. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь із двома невідомими параметрами

Модуль 2. Вибрані питання геометрії.

Тема 1.Теоретичні основи розв’язування задач на побудову

Тема 2. Основні задачі на побудову

Тема 3.Основні методи геометричних побудов

 Метод геометричних місць точок. Метод симетрії відносно точки. Метод симетрії відносно прямої. Метод повороту навколо точки. Метод паралельного перенесення. Метод гомотетії. Алгебраїчний метод

Модуль 3. Сучасний стан дослідження алгебраїчних структур

Тема 1. Дослідження алгебраїчних структур.

Проблеми, пов’язані з простими числами. Числові функції теорії чисел. Дзета-функція Рімана та закон розподілу простих чисел.

Тема 2. Піфагорові трійки та пов’язані з ними задачі.

Тема 3. Сучасний погляд на нерозв’язані проблеми алгебри та теорії чисел.

Модуль 4. Сучасний стан дослідження геометричних структур

Тема 1.Класи ізометричних поверхонь.

Основні класи топологічних просторів. Приклади гомеоморфних топологічних просторів. Топологічні інваріанти.

Тема 2. Від класичної до сучасної диференціальної геометрії.

Тема 3 Елементи гомотопічної топології.

Поняття гомотопії неперервних відображень. Гомотопічно еквівалентні простори. Стягуємість простору в точку. Приклади стягуваних топологічних просторів. Гомотопічні класи.

Тема 4. Ретракти.

Деформаційні ретракти. Шляхи та петлі. Добуток петель. Розбиття множини петель на класи. Фундаментальна група топологічного простору в точці. Фундаментальні групи деяких топологічних просторів.

Тема 5. Сучасний погляд на нерозв’язані проблеми геометрії.

Основна література

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Елементарна математика для студентів, слухачів ПО, абітурієнтів: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2006. — 548 с.

2.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: навч. посібник для студ. вищих навч. закладів.   4-е вид. К.: Ігнатекс-Україна, 2013. 648 с.

3.Мартинюк О.В., Колісник, Р.С. Вибрані питання алгебри та початків аналізу. Навч. посібник.

Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2022. – 192 с.

4. Стєганцева П.Г. Гладкі многовиди: навчальний посібник. – Запоріжжя: ЗНУ, 2015. – 81с.

5. Стєганцева П.Г. Диференціальна геометрія та топологія: навчальний посібник. – Запоріжжя, ЗНУ, 2019. – 160с.

Додаткова

1. Вивчення алгебричних структур за властивостями їх природних підструктур. – 2020.–

Режим доступу: http://www.kdpu-nt.gov.ua/uk/content/vyvchennya-algebrychnyh-struktur-za-vlastyvostyamy-yih-pryrodnyh-pidstruktur

2. Морокішко Є.П. Збірник задач і вправ з теорії чисел. К.: Вища школа, 1971. – 312 с.

3. Петришин, Р.І., Житарюк І.В., Мартинюк О.В., Колісник, Р.С. Задачі з параметрами.

Практикум. Частина 1. Навч. посібник. 2-ге вид., виправ. і доп. Київ: Видавництво

«Людмила», 2022. - 544 с.

4. Ракута В.М. Система динамічної математики GeoGebra як інноваційний засіб для вивчення математики. [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://journal.iitta.gov.ua/index.php/itlt/article/view/700/524#.VVzCkvntnZE

Інтернет-ресурси

http://www.geometry2006.narod.ru/Art/Lecture1.htm

http://window.edu.ru/resource/313/67313/files/2008_3_24-35-sh.pdf