Аналітична геометрія

Метою викладання навчальної дисципліни «Аналітична геометрія» є оволодіння студентами векторним та координатним методами на площині та в просторі.

Основними завданнями вивчення дисципліни «Аналітична геометрія» є:

1. Формування наукового світогляду і загальної математичної культури майбутніх вчителів математики, фізики та інформатики, розвиток їх математичного мислення;

2. Формування системи наукових знань з аналітичної геометрії;

3. Формування навичок використання координатного та векторного методів до розв’язування задач прикладного характеру;

4. Формування наукового світогляду майбутнього вчителя математики;

5. Формування вмінь інтерпретації основних теоретичних понять, відношень і їх властивостей у межах однієї математичної теорії (векторно-координатного числення)

6. Формування здатностей здійснювати математичне моделювання в процесі розв’язування теоретичних і практичних задач;

7. Формування навичок здійснення рефлексії виконаної навчально-пізнавальної діяльності, процесу учіння (самоаналіз, самооцінка, самоконтроль).

8.    Наукове обґрунтування понять вектора і векторного простору, перші уявлення про які даються в ЗОШ і які не висвітлюються іншими математичними курсами;

9.    Оволодіння майбутніми вчителями векторним та координатним методами, їх застосуванням для розв'язування геометричних задач та у фізиці;

10.     Досконале оволодіння студентами властивостями ліній і поверхонь першого і другого порядку.

Вступ

Предмет та зміст курсу. Література. Історичний огляд розвитку аналітичної геометрії.

Модуль 1. Векторна алгебра.

Тема 1. Лінійні операції над векторами.

Означення вектора. Довжина вектора. Одиничний вектор. Додавання векторів та його властивості. Множення вектора на число та його властивості.

Тема 2. Базис на площині та в просторі.

Поняття лінійної комбінації векторів. Лінійна залежність і незалежність векторів. Зв'язок лінійної залежності двох та трьох векторів з колінеарністю та компланарністю. Лінійна залежність чотирьох векторів. Поняття базису на площині і в просторі. Теореми про розклад вектора за базисом на площині і в просторі.

Тема 3. Системи координат.

Афінна система координат на площині і в просторі. Координати вектора і точки. Дії над векторами, заданими своїми координатами. Декартові системи координат. Проекція вектора на вісь. Напрямні косинуси вектора. Ділення відрізка у даному відношенні. Полярна, сферична та циліндрична системи координат.

Тема 4. Нелінійні операції над векторами.

Скалярний добуток двох векторів. Векторний добуток двох векторів. Мішаний добуток трьох векторів. Подвійний векторний добуток. їх геометричні та алгебраїчні властивості, обчислення в координатах, застосування.

Модуль 2. Лінії та поверхні першого порядку

Тема 1. Загальні рівняння площини і прямої в координатній площині.

Поняття рівняння лінії на площині, рівняння поверхні та рівняння лінії в просторі. Способи аналітичного задавання лінії та поверхні. Загальне рівняння площини та прямої в координатній площині. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин. Кут між двома площинами.

Тема 2. Різні види рівнянь прямої в координатній площині.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Канонічні та параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві точки. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Кут між двома прямими.

Тема 3. Окремі види рівнянь площини та прямої на площині. Лінійні нерівності з двома і трьома змінними.

Рівняння у відрізках, неповні рівняння. Пучок площин, пучок прямих в координатній площині. Геометричний зміст лінійних нерівностей з двома і трьома змінними. Нормальні рівняння площини та прямої на площині. Відхилення та відстань від точки до площини, відхилення та відстань від точки до прямої на площині.

Тема 4. Рівняння прямої в просторі.

Різні види рівнянь прямої в просторі (загальне, канонічне, параметричні). Взаємне розміщення двох прямих в просторі, взаємне розміщення прямої і площини. Кут між двома прямими в просторі, кут між прямою та площиною. Відстань між прямими в просторі. Відстань від точки до прямої в просторі. Основні задачі на пряму і площину в просторі.

Модуль 3. Лінії другого порядку.

Тема 1. Лінії другого порядку, задані канонічними рівняннями.

Канонічні рівняння кола, еліпса, гіперболи, параболи. Дослідження форми еліпса, гіперболи та параболи за їх канонічними рівняннями. Фокуси і директриси ліній другого порядку. Полярні координати. Рівняння еліпса, гіперболи та параболи в полярних координатах. Рівняння ліній другого порядку, віднесених до вершин.

Тема.2. Дотичні та діаметри ліній другого порядку.

Перетин прямої з лінією другого порядку. Умови дотику. Діаметри еліпса, гіперболи та параболи, їх властивості. Дотичні до еліпса, гіперболи та параболи. Оптичні властивості ліній другого порядку.

Тема 3. Загальна теорія ліній другого порядку.

Перетворення декартових прямокутних координат при паралельному перенесенні та повороті системи координат. Загальне рівняння лінії другого порядку, його спрощення при повороті та перенесенні системи координат. Інваріанти ліній другого порядку. Зведення рівняння лінії другого порядку до канонічного виду. Класифікація ліній другого порядку.

Модуль 4. Поверхні другого порядку.

Тема 1. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку.

Циліндричні поверхні. Конічні поверхні. Поверхні обертання, поверхні загального виду. Сфера, еліпсоїд. Гіперболоїди. Параболоїди. Гіперболічний параболоїд. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

Тема 2. Загальна теорія поверхонь другого порядку.

Центральні і нецентральні поверхні другого порядку. Інваріанти поверхонь другого порядку. Класифікація поверхонь другого порядку.

Рекомендовані джерела

Базова

1. Сіра І.Т. Вивчення модуля «Векторна алгебра» курсу «Лінійна алгебра та геометрія» (опорні конспекти для студентів математичних спеціальностей) - Навчально-методичний посібник - Харків: ХНПУ імені Г.С .Сковороди, 2017 - 47 с.

2. Сіра І.Т. Аналітична геометрія. Опорні конспекти лекцій для студентів математичних спеціальностей педагогічних закладів вищої освіти. Методичні рекомендації  – Харків: ХНПУ імені Г.С.Сковороди, 2022. – 79 с.

3. Борисенко О.А.Ушакова Л.Н  Аналітична геометрія. – X.: «Основа», 1993

4. Боровик В.Н., Зайченко І.В., Мурач М.М., Яковець В.П. Геометричні перетворення площини: Навчальний посібник. – Суми: «Університетська книга», 2008.

5.  Збірник задач з аналітичної геометрії / За ред. В. В. Кириченка. – Кам’янець-Подільський: Аксіома, 2005. – 228 с.

6.  Кириченко В.В. Аналітична геометрія. – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2003. – 192 с.

7. Яковець В.П., Боровик В.Н., Ваврикович Л.В. Аналітична геометрія: Навчальний посібник. – Суми: ВТД «Університетська книга», 2004.

Допоміжна

1.  Гриньов Б.В., Кириченко І.К. Аналітична геометрія. – Харків, Гімназія, 2003.

2.  Збірник задач з аналітичної геометрії / За ред. В. В. Кириченка. – Кам’янець-Подільський: Аксіома, 2005. – 228 с.

3. Раков С.А., Горох В.П., Олійник Т.О. та ін. Інформаційні технології в аналітичній геометрії. – X.., 2000.