Математичний аналіз

Основними завданнями вивчення дисципліни «Математичний аналіз» є ознайомлення з фундаментальними методами досліджень змінних величин шляхом аналізу нескінченно малих, основу якого складає теорія диференціального та інтегрального числення. Об’єктами вивчення в даній дисципліні є перш за все функції. За їх допомогою можуть бути сформульовані як закони природи, так і різноманітні процеси, що відбуваються в техніці. Звідси об’єктивна важливість математичного аналізу як засобу вивчення функцій. засвоїти теоретичні основи курсу та основні методи розв’язування задач із застосуванням методів диференціального та інтегрального числення. Сформувати у студентів загальну та предметну компетентність.

 Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:

знати:

• Глибоко розуміти основні вимоги до курсу як математичної теорії.

• Оволодіти основними теоретичними поняттями курсу та вміти чітко застосовувати їх до розв’язування практичних задач.

•  Ознайомитись з дослідженнями функцій та способами їх представлення, вивчити різноманітні прийоми та оператори для логічного та грамотного запису виразів

• Основні поняття математичного аналізу такі як границя та неперервність функції, диференційовність, екстремум, первісна функції та інтеграл.

вміти:

• Вміти давати обґрунтування всім розділам шкільного курсу математики.

• Навчитися правильно математично мислити, добиваючись чіткості математичних міркувань.

• Використовувати методи диференціального та інтегрального числення функцій однієї або декількох змінних.

• Обирати математичні методи, прийоми математичного аналізу для розв'язання практичних задач та набути навичок самостійного використання і вивчення літератури з математичних дисциплін.

Модуль 1 Вступ до аналізу

Тема 1. Множина дійсних чисел. Поняття функції (відображення) . Елементарні функції.

      Дійснозначні функції однієї дійсної змінної. Множина R дійсних чисел. Геометричне зображення дійсних чисел на прямій. Модуль дійсного числа. Розширення множини R символами +¥ и –¥. Проміжки. Околи точок (оглядово). Аксіома неперервності множини R. Обмежені та необмежені числові підмножини. Точна верхня межа (точна нижня межа) числової множини Лема про їх існування для обмежених множин. Відображення (функції) та їх загальні властивості. Дійсна функція дійсної змінної, область її визначення і множина значень. Графік функції.

      Арифметичні дії над функціями. Композиція функцій. Звуження функції. Монотонність, обмеженість, парність та непарність функції (оглядово).

Тема 2. Числова послідовність та її границя.

      Числові послідовності. Граничні точки числової підмножини. Поняття границі послідовності, загальної дійснозначної функції дійсної змінної. Критерій існування границі послідовності.

Тема 3. Границя функції.

      Границя суми, добутку, частки. Границя складеної функції. Граничний перехід в рівностях та нерівностях. Перша чудова границя. Друга чудова границя. Нескінченні десяткові дроби.

Тема 4. Неперервність функції. Властивості неперервних фукцій.

      Неперервність функції у точці та на множині. Неперервність суми, добутку, частки функцій. Неперервність складеної функції. Одностороння неперервність. Точки розриву, їх класифікація. Точки розриву монотонної функції. Теореми Больцано-Коші та Вейерштрасса про функції, неперервні на відрізку. Обернена функція та її неперервність.

Модуль 2 Диференціальне числення функції однієї змінної         

Тема 1. Похідна та деференційовані функції                                    

      Диференційовні функції. Похідна. Миттєва швидкість. Диференційовність функції та її похідна. Неперервність диференційовної функції. Поняття дотичної. Диференціювання суми, добутку, частки. Диференціювання складених функцій. Диференціювання обернених функцій. Похідні основних елементарних функцій. Параметризовані шляхи. Параметрично задані функції та їх диференціювання.

Тема 2. Диференціал.

      Диференціал. Його геометричний та механічний зміст. Диференціал суми, добутку, частки.  Диференціал складеної функції. Інваріантність форми І диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків. Основні властивості диференційовних функцій та їх застосування.

Тема 3. Основні теореми про диференційовані функції

      Основні теореми про диференційовні функції. Умови сталості функції на проміжку. Зростання та спадання функції на проміжку. Поняття локального максимуму та мінімуму функцій. Необхідна умова екстремуму. Достатні умови максимуму і мінімуму функції. Найбільші та найменші значення функції на проміжку.

Тема 4. Застосування диференціального числення до обчислення границь

      Правило Лопіталя. Асимптоти графіка функції. Опуклість графіка функції Точки перегину.

Тема 5. Дослідження функцій.

      Дослідження функції за допомогою похідної та побудова її графіка. Теорема про зв’язок характеру опуклості функції з розташуванням її графіка відносно дотичної. Точки перегину, необхідна і достатня умови їх існування. Похилі асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження і побудови ескіза графіків явно заданих функцій, параметризованих шляхів.

Модуль 3 Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Тема 1. Первісна та невизначений інтеграл.

      Первісна функції. Невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів. Інтегрування підстановкою. Інтегрування частинами. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування найпростіших алгебраїчних та трансцендентних ірраціональних функцій.

Тема 2. Визначений інтеграл та його застосування         

      Визначений інтеграл. Інтегровність за Ріманом. Формула Ньютона-Лейбніца. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу. Інтегральні суми та суми Дарбу, їх властивості. Визначений інтеграл та інтегровність функції за Ріманом. Рівномірна неперервність функції. Теорема Кантора про рівномірну неперервність неперервної на відрізку. Класи інтегровних за Ріманом функцій. Основні властивості визначеного інтегралу. Теорема про середнє значення. Визначений інтеграл із змінною верхнею межею, його властивості. Теорема про існування первісної функції. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтегрування частинами та підстановкою у визначеному інтегралі. Площа криволінійної трапеції та сектора, їх обчислення. Довжина дуги плоскої регулярної кривої.

Тема 3. Невласні інтеграли.

      Поняття невласного інтегралу. Невласні інтеграли першого та другого роду. Абсолютна збіжність. Достатні умови збіжності.

Тема 4. Наближені методи обчислення невласних інтегралів.

Площа криволінійної трапеції, не кругового сектора. Об’єм тіла обертання. Довжина дуги плоскої лінії. Диференціал дуги. Довжина дуги просторової кривої. Площа поверхні тіла обертання. Довжина шляху. Диференціал дуги. Площа поверхні тіла обертання.

Модуль 4. Диференціальне числення функцій багатьох змінних. 

Тема 1. Поняття функції багатьох змінних. Границя і неперервність

      Дійснозначні функції декількох змінних, як функції точок m - вимірного евклідового простору. Складена функція та її неперервність. Графік функції двох змінних. Лінії та поверхні рівня. Границя відображення, неперервність відображення, рівномірна неперервність. Зв’язність, її збереження при рівномірному відображенні. Теорема Вейерштрасса про найбільше та найменше значення неперервного на компакті відображення з Rm в R1

Тема 2. Частинні похідні і диференційовані функції.

      Частинні похідні і похідні за напрямком. Диференційованість і диференціал. Неперервність диференційованої функції. Дотична площина. Геометричний зміст диференціала функцій декількох змінних. Градієнт.

      Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Частинні похідні вищих порядків і умови їх незалежності від порядку диференціювання. Диференціали вищих порядків. Формула Тейлора для функцій 2 змінних.

Тема 3. Неявні функції.

      Поняття про неявне задання дійснозначної функції однієї та декількох змінних рівнянням та системою рівнянь. Достатні умови існування неявно заданих функцій. Обчислення диференціалів першого та вищих порядків неявно заданих функцій, їх частинних похідних.

Тема 4. Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних.

      Поняття максимуму та мінімуму відображення з Rm в R1. Необхідні та достатні умови екстремуму для функцій двох змінних. Знаходження найбільших та найменших значень неперервних на компакті функцій. Умовні екстремуми. Метод Лагранжа знаходження стаціонарних точок. Достатні умови умовних екстремумів.

Модуль 5. Інтегральне числення функцій багатьох змінних.

Тема 1. Теорія кратних інтегралів.

      Поняття площі плоскої обмеженої фігури. Необхідна і достатня умови квадрованості плоскої фігури. Поняття подвійного інтегралу. Необхідна та достатня умова інтегрованості. Інтегрованість неперервної функції.

      Основні властивості подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу повторним інтегруванням. Регулярні відображення плоских областей. Якобіан відображень. Перетворення площ при регулярному відображенні. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Тема 2. Криволінійні інтеграли.

      Умови незалежності від форми шляху інтегрування. Криволінійні інтеграли І та ІІ типу, їх обчислення через ріманові інтеграли. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійних інтегралів ІІ типу від шляху інтегрування. Зв’язок з повним диференціалом.

Тема 3. Поверхневі інтеграли.

      Площа кривої поверхні. Поверхневі інтеграли. Приклад Шварца. Означення і обчислення площі кривої поверхні. Поверхневі інтеграли І-го та ІІ-го типу. Формула Стокса. Умови незалежності криволінійного інтегралу вздовж просторової кривої від її форми.

Рекомендована література

Основна література

1.    Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: У 2 ч. Ч.1. – К.: КНЕУ, 2001. – 546 с. Ч.2. – К.: КНЕУ, 2002. – 451 с.

2.    Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика – К.: А. С. К. 2001 (Університетська бібліотека).

3.    Дюженкова Л.І., Колесник Т.В., Ляшенко М.Я., Михайлін Г.О., Шкіль М.І. Математичний аналіз у задачах і прикладах. – К. Вища математика, 2002, частина 1.

4.    Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.- Минск: Вышейшая школа, 1981, ч 1,2.

5.    Сіра І.Т. Диференціальне числення функції однієї змінної : метод. рек. / І.Т.Сіра ; Харк. нац. пед. ун-т імені Г.С.Сковороди. - Харків : ХНПУ, 2019. - 58 с.

6.  Сіра І.Т., Моторіна В. Г. Вивчення змістовного модуля «Інтегральне числення функції від однієї змінної» курсу «Математичний аналіз» (опорні конспекти лекцій для студентів математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ) / В.Г.Моторіна, І.Т.Сіра ; Харків. нац. пед. ун-т імені Г.С.Сковороди. – Харків : ХНПУ, 2016. – 98 с.

7.    Шкіль М.І. Математичний аналіз. – К.: Вища школа, 2005, частина 1.

Додаткова література

8.    Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому аналізу / Б.П. Демидович. – , 2003. – 558с.

9.   Вища математика. Основні означення, приклади, задачі. У 2 кн / За ред. Г.Л. Кулініча. – К.: Либідь, 2003. Кн.1. Основні розділи. – 400 с. Кн.2.Спеціальні розділи. – 368 с.

10.   Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: А.С.К., 2001 (Університетська бібліотека).

11.  Дубовик В.П., Юрик І.І.. Вовкодав І.П. та ін. Вища математика. Збірник задач. Навчальний посібник. –К.: А.С.К., 2005 (Університетська бібліотека).