臨時セミナー（2013年4月24日 16:40-18:10）
講師： 国場敦夫 氏 [東大総合文化]
題目： PBW bases, quantized algebra of functions and 3D integrability
概要：
I shall explain how Soibelman's theory of quantized algebra of functions led to a representation theoretical construction of a solution to the Zamolodchikov tetrahedron equation and the 3D analogue of the reflection equation proposed by Isaev and Kulish in 1997. These results are related to finite dimensional simple Lie algebra g of rank 2.
For general g, a related theorem will be presented connecting the representations of the quantized algebra of functions with the PBW bases of the positive part of the quantized enveloping algebra Uq(g).
This is a joint work with Masato Okado and Yasuhiko Yamada.
第1回（2013年5月01日 16:40-18:10）
講師： 江口徹 氏 [立教大学]
題目： 超弦理論とムーンシャイン現象
概要：
K3曲面は超弦理論のコンパクト化で基本的な役割を果たす事が知られているが，我々は最近その位相的不変量である楕円種数を調べて面白い事に気がついた。K3曲面上の超弦理論は N=4 共形不変性を持つため楕円種数をN = 4 共形代数の指標で展開してその展開係数を調べると、これらがちょうどマシュー群M24と呼ばれる離散群の規約表現の次元の和に分解できる事が分かった。これはモジュラーJ関数のq展開の係数がモンスター群の規約表現の和に分解されるいわゆるMonsterous Moonshine と呼ばれる現象に良く似ている。このため我々の見つけた現象はMathieu moonshine と呼ばれるようになった。Monsterous moonshine は70年代後半に発見され10数年かけて数学者によって解決された。Mathieu moonshine の現象はその起源や意味がまだ全く不明である。最近は拡張されて Umbral moonshine, Enriques moonshine なども見つかっている。このセミナーではこれらの新しい moonshine 現象を解説する。
第2回（2013年5月08日 16:40-18:10）
講師： 山田泰彦 氏 [神戸大学]
題目： 連続／離散パンルヴェ方程式のラックス形式
概要：
離散パンルヴェ方程式は、90年頃の量子重力理論を契機に登場し、今日では連続の場合と並行して様々な研究がなされている。連続パンルヴェ方程式においては、モノドロミー保存変形としての定式化（ラックス形式）が本質的に重要であり、離散パンルヴェ方程式においても同様のことが期待される。本講演では、連続／離散パンルヴェ方程式のラックス形式について、特に幾何学的な観点から概観する。また、ゲージ理論・共形場理論との関係や量子化などについても考察したい。
第3回（2013年5月22日 16:40-18:10）
講師： 田崎晴明 氏 [学習院大学理学部]
題目： 非平衡定常状態におけるエントロピーと熱力学関係式
概要：
マクロな系の平衡状態の性質は、熱力学と統計力学によって深く精密に理解されている。
一方、非平衡状態についての理論的な理解はきわめて未熟だ。
このセミナーでは、非平衡定常状態についての熱力学をつくるわれわれの試みを紹介する。
特に、非平衡系では時間とともに発散してしまう通常の熱を「くりこんだ熱」に置き換えることで、拡張クラウジウス関係式が得られること、また、シャノンエントロピーを時間反転について対称化した対称化シャノンエントロピーが理論に現れることをみる。これらの結果は、ある種のマルコフ過程においては数学的な定理として示されている。
なお、これらの結果は、小松輝久、佐々真一、中川尚子との共同研究にもとづいている。
第4回（2013年6月05日 16:40-18:10）
講師： 土屋昭博 氏 [Kavli IPMU]
題目： Log共形場理論と拡大されたW代数
概要：
1984年に発表されたB.P.Z.の論文は、Virasoro代数の中心電荷が Cp+,p- = 1- 6 (p+-p-)2/(p+p-) の時、Virasoro代数の表現論に基づきN点関数の決定する線型微分方程式を発見し、共形場理論の基礎付けを行った。ここでは、(p+-1)(p--1)/2 個の既約表現が言われ、すべての表現は既約表現の直和である。N点関数を特徴づける微分方程式では、いわゆるNullベクトルを表現して得られる。
ところで、Virasoro代数の極小シリーズやアファイン・リー環の可積分表現より得られる共形場理論は上と同様により性質を持ち、一般リーマン面の上の共形場理論として展開される。しかし、この場合の既約表現の数は有限個であり、すべての表現は既約表現の直和である。
一般リーマン面上に共形ブロックの次元が有限個であるなどのよい性質を持つ理論が展開されるためには、考えているVirasoro代数を含む頂点作用素代数（カイラル代数）の表現のカテゴリーは既約表現の数が有限などの強い条件を満たす必要がある。しかし、すべての表現は既約表現の直和である必要がなく、Virasoro代数の $L_0$ 作用素は広義の固有値分解を持てばいいことが知られている。このことから、N点関数は複素巾以外にLogを持ちうる。このため、このような共形場理論はLog CFTとも呼ばれる。一般にこのような代数をつくり、その表現のカテゴリーを解析することは非常に難しいと思われていた。
私は最近、S.Wood氏と共同で自由場表示とScreening作用素を用いて、中心電荷が Cp+,p- のVirasoro代数をゲージ拡大したW代数を構成し、その既約表現をすべて決定し、表現論の基礎付けに成功した。このとき、既約表現は (p+-1)(p--1)/2 のVirasoro極小表現に加えて 2p+p- の表現を持つ。講演では、代数の構成とその表現の構造解析について話をする。方法は古典的なセルベーク型積分（行列積分）である。
第5回（2013年6月19日 16:40-18:10）
講師： 堀健太朗 氏 [Kavli IPMU]
題目： Supersymmetric Localization With Boundary
概要：
We compute the partition function on the hemisphere of a class of 2d (2,2) supersymmetric field theories including gauged linear sigma models. The result provides a general exact formula for the central charge of the D-brane placed at the boundary. Mirror symmetry, grade restriction rule, factorization of two sphere partition function, etc, will also be discussed in this context. (Based on a joint work with Mauricio Romo.)
第6回（2013年7月03日 16:40-18:10）
講師： 吉川謙一 氏 [京都大学]
題目： 対合付きK3曲面の解析的捩率
概要：
楕円曲線のラプラス作用素の行列式としてDedekind η-関数が得られることが70年代にRay-Singerにより観察されています。この講演では、対合付きK3曲面に対するRay-Singerの定理の拡張をお話します。対合による対称性を考慮した解析的捩率(同変解析的捩率)を用いた対合付きK3曲面の不変量の構成を紹介し、その具体的表示に関する最近の進展を解説します。
対合付きK3曲面には75種類の変形型の存在がNikulinにより知られていますが、これまでの計算で68族に対する解析的捩率不変量が明示的に求まっています。少数の例外を除けば、不変量はBorcherds積(無限積表示を持つ保型形式)とテータ定数の積という共通の構造を持っており、さらにBorcherds積の構成に使われる楕円モジュラー形式も統一的な形をしています。
第7回（2013年7月17日 16:40-18:10）
講師： 安井幸則 氏 [大阪市立大学]
題目： 共形キリング-矢野対称性と超重力理論への応用
概要：
高次元カー・ブラックホール時空には、共形キリング-矢野テンソル（ＣＫＹテンソル）と呼ばれる特別なテンソル場で記述される“隠れた対称性”が 存在します。このような対称性は、ブラックホール時空の分類問題や時空の（不）安定性解析の研究において重要な役割を果たすと考えられています。歴史的には、Walker-Penrose(1970年）によって4次元カー時空の対称性として発見されました。また、純粋に数学的視点から導入したのは柏田-立花（1968年）たちによる幾何学者の研究にまで遡ります。20世紀後半になって、超弦理論や超重力理論の発展は高次元ブラックホール時空を研究する大きな動機付けを与えました。私たちは、このような流れのなかでCKY対称性が高次元時空にも拡張できることを明らかにしてきました。最近の進展は、CKY対称性に物質場による変形の効果を導入することで、より広いクラスのブラックホール時空が捕えられるようになったことです。特に超重力理論の場合、このような変形は「トーション」として自然な幾何学的解釈を与えることができます。本講演では、論文[1][2]に基づき、これまでのCKY対称性に関する研究を概観するとともに佐々木多様体のトーション変形に関する宝利-竹内との共同研究を紹介します。
[1] Prog. Theor. Phys. Suppl. 189 (2011) 125.
[2] Class. Quantum Grav. 30 (2013) 135008.
臨時セミナー（2013年9月12日 16:30-18:00）
講師： 秦泉寺雅夫 氏 [北海道大学]
題目： Mirror Map as Generating Function of Intersection Numbers
概要：
In this talk, we discuss geometric construction of the mirror map used in the mirror computation of Gromov-Witten invariants. We reconstruct the mirror map as a generating function of intersection numbers of the moduli space of holomorphic maps compactified by chains of quasi maps. We also apply this formalism to compute some open Gromov-Witten invariants.
第8回（2013年9月25日 16:40-18:10）
講師： 小松尚太 氏 [東京大学駒場]
題目： Three point functions in AdS5/CFT4 and integrability
概要：
I will explain the recent developments of the application of integrability to three point functions in the AdS5/CFT4 correspondence, a duality between the maximally supersymmetric gauge theory in four dimension and the string theory on AdS5×S5. The perturbative computation of the three point functions in the gauge theory can be mapped to the evaluation of the scalar products in the integrable spin chain. On the other hand, in the classical limit of the string theory, they are given by the area (plus the boundary terms) of the three-legged string worldsheet. I would like to explain how these two different calculations give rise to the similar expressions in certain limits and discuss its implication and the future direction.
第9回 (2013年10月30日 16:40-18:10)
講師： 茂木康平 氏 [岡山光量子科学研究所]
題目： 可解確率過程とGrothendieck多項式
概要：
可解模型と、幾何学に由来する表現論との間に新たに見出した関係について講演する。
非平衡統計力学の代表的な模型である完全非対称単純排他過程や完全ゼロ・レンジ・プロセス、あるいはそれらを含む非エルミート量子可積分スピン鎖や可解ボソン模型の波動関数について調べ、グラスマン多様体のK理論の構造層を表すGrothendieck多項式と等価であることを示した。
また、この対応に基づき、Grothendieck多項式のCauchy公式、和公式、直交性や、平面分割の母関数等を、可解格子模型の技法により導出したので、これらの結果について解説する。
なお、本講演は堺和光氏(東大)との共同研究に基づく。
第10回 (2013年10月23日 16:40-18:10)
講師： 中西知樹 氏 [名古屋大学大学院多元数理科学研究科]
題目： 共形場理論におけるダイログ恒等式と団代数
概要：
1980年代後半に、CardyやA. B. Zamolodchikovらによってスピン模型およびS行列理論などの可積分模型を共形場理論の有質量変形とみなす観点が提唱された。これに続いて、より定量的な解析として、Bazahanov, Kirillov, Reshtekhin, およびAl. B. Zamolodchikovらは, 熱力学Bethe仮説 (thermodynamic Bethe ansatz = TBA)の方法を用いて共形場理論極限の中心電荷の計算法を与えた。90年代には、この手法によって、さまざまなスピン模型およびS行列理論に対する共形場理論極限が求められた。そしてその過程において、Y-systemの周期性（予想）とRogers ダイログ関数 (dilogarithm)の恒等式（予想）が、この手法における数学的な中心問題であることも明らかになった。これらの予想は、共形場理論のRogers-Ramanujan型指標恒等式、双曲幾何、代数的K理論などとも関係して興味を持たれ、さまざまな観点からその証明が模索されたが、むしろ問題の難しさが徐徐に認識され、一部をのぞいてほぼ手つかずのまま、未解決問題として２０００年代に持ち越された。
一方、２０００年頃に、FominとZelevinskyは、代数多様体の座標環の研究の観点から団代数(cluster algebra)という可換環のクラスを導入した。その後、団代数はその初期の視野を超えて、箙や量子群の表現論、Calabi-Yauカテゴリー理論、双曲幾何などさまざまな分野と関連することが明らかになり、発展を遂げている。その中で、 Y-systemがその兄弟であるT-systemとともに団代数を用いて定式化できることが見いだされ、この定式化を用いて、懸案であったY-systemの周期性予想とダイログ恒等式予想の解決に至った。
本講演では、このような流れを概観したのちに、特に、なぜダイログ恒等式の証明に団代数が本質的に重要であるか、という点に絞って解説をしたい。
第11回 (2013年11月06日 16:40-18:10)
講師： 森山翔文 氏 [名古屋大学素粒子宇宙起源研究機構(KMI)]
題目： Instanton Effects in ABJM Matrix Model
概要：
本研究の主要結果は、数値計算を援用しながら、ABJM行列模型のlarge N展開を完全に決定したことである。
数学的に、ABJM行列模型は、Chern-Simons行列模型のゲージ群U(N)の積分測度を超ゲージ群U(N|N)の積分測度に置き換えたものである。物理的には、M理論のM2-braneを記述するために、Chern-Simons理論を最大に超対称化したものがABJM理論であり、ABJM行列模型はその分配関数である。局所化公式により、分配関数の無限次元の経路積分が有限次元の行列積分に帰着された。
ABJM行列模型のlarge N展開におけるインスタントン効果は二種類ある。特に興味深い点として、worldsheetインスタントンは特定の結合定数で発散が起きるが、それらの発散はmembraneインスタントンによって完全に相殺され、全体としてあらゆる結合定数で有限な模型となる。これは弦の双対性からの期待「弦理論は弦だけの理論ではない、様々なソリトンまで考慮に入れて初めて無矛盾な理論になる」を実現したことになる。二種類のインスタントンに対してこのような審美的な意味づけを与えただけでなく、実用的にも、この相殺機構を指導原理にすることで、large N展開を完全に決定できる。
本講演では、この内容を詳しく説明する。
第12回 (2013年11月20日 16:40-18:10)
講師： Prof. Martin Guest [Waseda University]
題目： Solving integrable systems: old and new viewpoints
概要：
Integrable systems appear in geometry and physics as nonlinear differential equations with many symmetries. Using a particular example of interest in mirror symmetry and quantum field theory, I will compare several methods for solving such equations: nonlinear p.d.e. theory, Riemann-Hilbert theory, loop group theory, and bundle methods. The equation is a version of the Toda field equation, which we call the tt*-Toda equation. It is a special case of the tt* (topological-antitopological fusion) equation of Cecotti and Vafa, and a special case of the harmonic map equation, and it is a generalization of the third Painleve equation. This is joint work with Alexander Its and Chang-Shou Lin.
第13回 (2013年12月04日 16:40-18:10)
講師： 松尾泰 氏 [東京大学本郷]
題目： Extended Conformal Symmetry and Recursion Formulae for Nekrasov Partition Function
概要：
We derive an infinite set of recursion formulae for Nekrasov instanton partition function for linear quiver U(N) supersymmetric gauge theories in 4D. They have a structure of a deformed version of W1+∞ algebra which is called SHc algebra (or degenerate double affine Hecke algebra) in the literature. The algebra contains WN algebra with general central charge defined by a parameter beta, which gives the Omega background in Nekrasov's analysis. Some parts of the formulae are identified with the conformal Ward identity for the conformal block function of Toda field theory.
第14回 (2013年12月20日 16:40-18:10)
講師： 内藤聡 氏 [東京工業大学]
題目： Quantum LS paths, quantum cohomology, and specializations of Macdonald polynomials
概要：
In this talk, I will first explain how the crystal bases of tensor products of level-zero fundamental representations of quantum affine algebras are realized explicitly in terms of quantum Bruhat graphs; quantum Bruhat graphs are introduced by Brenti-Fomin-Postnikov in order to describe the Chevalley-type formula for the small quantum cohomology ring of a partial flag variety. Then, I will explain how the specialization at t = 0 of Macdonald polynomials can be interpreted as graded generating functions of weights of these crystal bases, where the grading comes from what is called the global energy function.
第15回 (2014年1月22日 16:40-18:10)
講師： 重森正樹 氏 [京大基研]
題目： Classifying codimension-2 branes in three dimensions
概要：
In string theory there are various extended objects, branes, whose importance in the physics of the theory cannot be emphasized too much. Branes with small codimension (<3) are more exotic than the higher codimension branes and have not attracted as much attention. Nonetheless, those exotic branes have interesting properties and are expected to play a crucial role for understanding non-perturbative physics of string theory. In this talk, I attempt to classify codimension-2 branes in string theory by studying supersymmetric configurations in 3d supergravity. It turns out that supersymmetric solutions are closely related to the nilpotent orbits of the Lie algebra associated with the U-duality group, which is E8(8) in this case.
臨時セミナー（2014年2月21日 16:30-18:00）
Speaker： Prof. Chong-Sun Chu [National Tsing Hua University]
Title： A non-abelian self-duality equation in six-dimensions and multiple M5-branes
Abstract：
The low energy theory for a system of multiple M5-branes contains a non-abelian self-dual 3-form field strength. In this talk I will discuss a proposal for its equation of motion. Various solutions of the equation have been constructed. I will discuss how these solutions have properties that match precisely with the physics of the M5-branes system obtained from other analysis, such as the 11 dimensional supergravity and string theory.
臨時セミナー（2014年2月28日 16:40-18:10）
講師： 鈴木了氏（オックスフォード大）
題目： AdS/CFT 対応とタキオンスペクトル
概要：
超弦理論のスペクトルには系の不安定性を表すタキオン粒子がしばしば含まれるが、平坦な時空の場合と比べ、曲がった時空上ではタキオンの性質はさほどよく知られていない。我々は AdS5xS5 時空上の giant-graviton D-braneとその anti-D-brane の間に伸びる開弦を考え、そのエネルギースペクトルを、可積分系の方法及び AdS/CFT 対応の意味で双対な N=4 super Yang-Mills 理論(SYM) の摂動的方法によって調べた。また、可積分系の方法から得られた境界熱力学ベーテ方程式を解くことで、N=4 SYM の状態が有限の結合定数の値でタキオン的に振る舞うこと、さらにこの結合定数値は対応する開弦のエネルギーが０になる点に対応することを示唆する結果を得た。