El objetivo de este tema es llegar a descomponer una expresión algebraica en un producto de factores más simples. Esto facilita la resolución de ecuaciones, la simplificación de expresiones y el análisis de funciones. 

En matemáticas la factorización es una técnica que se basa en la descomposición en factores de una expresión algebraica a modo de productos.

·   Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de 4 términos o más. No aplica para monomios.

·   Es el primer caso que se debería inspeccionar una vez que hablamos de factorizar un polinomio.

·   El elemento común es eso que se encuentra multiplicando en todos los términos. Podría ser un número, una letra, algunas letras, un símbolo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.

·   De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.

·   De las letras o expresiones en paréntesis reiteradas, se extrae la de menor exponente.

·   Se redacta el elemento común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda luego de que el elemento común ha abandonado cada término.

Ejemplos:

·   Se aplica en polinomios que poseen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay elemento común.

·   Están compuestos conjuntos de igual número de términos, intentando encontrar que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es mencionar, que tengan rasgos comunes).

·   La agrupación se hace colocando paréntesis.

·   ¡CUIDADO! Tienen que cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por símbolo negativo.

·   Se extrae elemento común de cada grupo conformado (es mencionar, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).

·   Finalmente, se extrae componente común de toda la expresión (es mencionar, nuevamente se aplica la situación 1; en esta situación, el elemento común es una expresión encerrada en paréntesis).

Ejemplos:

·   Se aplica sólo en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.

·   Se reconoce ya que los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es mencionar números que poseen raíz cuadrada precisa, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etcétera.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 8n, 10m, 16b, etc.)

·   Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente y a las letras, su exponente se divide entre 2.

·   Se abren 2 equipos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).

·   Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es mencionar, se recibe el producto importante denominado SUMA POR DIFERENCIA).

Ejemplos:

·   El trinomio debería estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).

·   Tanto el primero como el tercer término tienen que ser positivos. Asimismo, esos 2 términos tienen que ser cuadrados perfectos (es mencionar, deben tener raíz cuadrada exacta). En otros términos, el primero y el tercer término tienen que reunir las propiedades de los términos que componen una Diferencia de Cuadrados Perfectos.

·   Primero debemos revisar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Para eso extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.

·   Realizamos el doble producto de las raíces conseguidas y comparamos con el segundo término (sin fijarnos en el signo de éste). Si realmente nos da, entonces poseemos un TCP.

·   La factorización de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el símbolo del segundo término.

Ejemplos:

·   El trinomio debe estar organizado en forma descendente.

·   El coeficiente del primer término debe ser uno.

·   El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.

·   Se abren dos grupos de paréntesis.

·   Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.

·   Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.

·   Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).

·   Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.

Ejemplos:

·   El trinomio debe estar organizado en forma descendente.

·   El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).

·   El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.

·   Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a.

·   En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza, sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.

·   Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.

·   Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador.

·   Aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis formados.

·   Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).

Ejemplo: