Producción de refresco

Enunciado del problema

La tienda ByK vende dos clases de gaseosas: Cola A1 y Cola ByK, menos costosa. El margen de utilidad aproximado de A1 es de 5 centavos por lata y la de ByK es de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas diarias. Aunque A1 es una marca reconocida, los clientes tienden a comprar más ByK porque es bastante menos costosa. Se estima que se venden cuando menos 100 latas de A1 y que ByK se vende más que A1 por un margen mínimo de 2:1. ¿Cuántas latas diarias de cada marca debe tener en existencia la tienda para maximizar la utilidad? Plantear modelo.

Planteamiento del modelo

El objetivo del problema es, precisamente como lo indica, el de maximizar las utilidades de la tienda. Para ello, hay que decidir qué cantidad de latas deberían producirse para lograr con los requerimientos de ventas que se estiman en el enunciado.

En ese caso, se definirá como variable a la cantidad de latas de cada presentación a producirse.

El modelo asociado al problema corresponde al siguiente:

El significado del modelo es el siguiente:

• La función objetivo corresponde a la utilidad de cada tipo de lata (5 centavos para A1 y 7 para ByK).
• La primera restricción corresponde al promedio de venta diaria de la tienda (no más de 500 latas).
• La segunda restricción corresponde a la venta mínima de latas A1 (cuando menos 100).
• La tercera restricción corresponde al margen de venta de ByK (margen mínimo de 2:1 con respecto a A1).

Para resolver nuestro modelo, no podemos dejar la tercera restricción como está, por lo que se realizará un despeje como sigue:

Como sabemos, es posible multiplicar por -1 a toda una restricción. Como esta restricción tiene al 0 en su lado derecho, no tendremos problema al aplicar el método por tener un número negativo en la columna de la solución, por lo que la multiplicaremos por -1 para no tener a esta restricción como una desigualdad de mayor o igual.

Hecho esto, podemos escribir nuestro a modo de que sea apto para resolverlo:

Solución del problema

En primer lugar, debemos escribir nuestro modelo en su forma estándar.

Teniendo la forma estándar, ubicamos que no hay una variable de holgura en su segunda restricción, por lo que escribiremos el modelo en su forma ampliada. Además, ubicaremos una solución inicial en base a las variables de holgura y a las artificiales.

Fase 1

Para la fase 1, resolveremos primero el modelo de minimización asociado sólo a las variables artificiales. El modelo a resolver será el siguiente:

Empezaremos a resolver nuestro modelo. Para ello, lo escribiremos en su forma de tabla añadiendo el nuevo renglón para la función objetivo w, tal y como lo indican nuestros pasos.

Sabemos que nuestras variables básicas son las que están en la solución inicial, por lo que debemos de verificar que existan como vectores columnas unitarios. En éste caso, la columna de la variable artificial no lo está, por lo que aplicamos Gauss/Jordan para lograr iniciar con el método simplex.

Una vez logrado el requisito, podremos aplicar el método. Como se trata de una caso de minimización, Tomaremos "el positivo más grande" de nuestro renglón objetivo para encontrar la variable de entrada, y tomaremos como variable de salida a lo que nos arroje de resultado el criterio de la razón. Se obtendrá la siguiente tabla:

Como ya se sabe, debemos aplicar Gauss/Jordan sobre nuestro elemento pivote. Deberá ser convertido a 1 y su columna correspondiente será convertida en 0, para que así pueda ser un vector columna unitario al ser variable básica.

Además, se calculará el criterio de la razón para que nuevamente sepamos qué variable entrará a la base y qué variable saldrá de ella.

Realizamos otra iteración del método, por lo que obtendremos la siguiente tabla:

Fase 2

Al finalizar la fase 1, logramos hacer que las variables artificiales no se encuentren en la base, y tenemos una solución básica factible inicial para nuestro modelo original.

Gracias a ello, podemos eliminar el renglón que involucra a la función objetivo w, junto con la columna de la variable artificial resultante, para poder aplicar la segunda fase a la tabla resultante de ello.

Cabe mencionar que esta vez se tomará "el negativo más grande". En la primera fase, se trataba de un problema de minimización, pero en esta segunda se trata de un caso de maximización, ya que es el objetivo del modelo original.

Escribimos la tabla resultante y verificamos las variables de entrada y salida, obteniendo la siguiente tabla:

La iteración resultante a la tabla anterior después de aplicar el método simplex es la siguiente:

Nuevamente, repetimos el proceso del método simplex con nuestro elemento pivote y todo lo conocido.

Se ha llegado a la solución, debido a que el renglón correspondiente a la función objetivo tiene todos sus valores positivos.

Hemos aplicado las dos fases como lo indica el método y llegado a la solución óptima.

Interpretación de resultados