Limpieza

Enunciado del problema

En Limpieza SA se usan las materias primas I y II para producir dos soluciones limpiadoras domesticas, A y B. La disponibilidad diaria de las materias primas I y II es 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución de A consume 0.5 unidades de materia prima I y 0.6 unidad de materia prima II, una unidad de solución B requiere 0.5 unidad de materia prima I y 0.4 unidad de materia prima II. Las utilidades unitarias de las soluciones A y B son $8 y $10 respectivamente. La demanda diaria de la solución A está entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B entre 40 y 200 unidades. ¿Cuánto debe producirse de A y B?. Plantear modelo lineal.

Planteamiento del modelo

El objetivo de este problema es el de determinar cuál será la cantidad de unidades necesarias a producir de cada tipo de solución limpiadora para obtener la utilidad máxima cubriendo la disponibilidad de materia prima que se tiene para consumir, además de las demandas diarias de cada tipo de solución.

Al tener las utilidades de cada tipo de solución, podemos pensar en que la variable involucrada en el problema es el tipo de solución, y que se está hablando de un caso de maximización.

Considerando la variable que se ha definido, el modelo asociado al problema se enuncia a continuación:

• La función objetivo contiene la utilidad de la solución del tipo A y B.
• La primera restricción corresponde a la disponibilidad de la materia prima I.
• La segunda restricción corresponde a la disponibilidad de la materia prima II.
• La tercer restricción corresponde a la demanda máxima de la solución A.
• La cuarta restricción corresponde a la demanda mínima de la solución A.
• La quinta restricción corresponde a la demanda máxima de la solución B.
• La sexta restricción corresponde a la demanda mínima de la solución B.

Solución al problema

El primer paso será el de plantear el modelo en su forma estándar.

El siguiente paso será el de plantear el modelo en su forma ampliada.

Para aplicar el Método de la M Grande, tendremos que penalizar a la función objetivo por el uso de las variables artificiales.

Seguido de ello, ubicaremos como variables básicas a las de holgura y a las artificiales, por lo que obtendremos lo siguiente:

Ahora, tenemos todo lo necesario para aplicar el método. Para ello, procederemos a escribir nuestro modelo en su forma de tablas.

Antes de arrancar con el método Simplex, podemos ver que las columnas asociadas a las variables artificiales no están como vectores unitarios. Pasaremos a aplicar Gauss/Jordan para poder cubrir este requisito que tienen al ser variables básicas.

Después de todos estos pasos, nuestra tabla es apta para aplicar el método simplex. Al tratarse de un caso de maximización, tomaremos "al negativo más grande" como variable de entrada para la base, y la variable de salida se decidirá con el criterio de la razón ya conocido.

El siguiente paso será el de aplicar Gauss/Jordan en nuestra nueva variable básica como lo dicta el método Simplex. A su vez, se determinará qué variable será la de entrada y salida directamente en la siguiente tabla.

Se aplica nuevamente otra iteración del método simplex, obteniendo una nueva tabla.

Realizaremos otra iteración del método, con los elementos encontrados. Cabe mencionar que en la tabla anterior se eliminó la constante M de la solución. Ahora solo debemos seguir buscando la solución óptima.

Aplicamos otra iteración llegando a la siguiente tabla:

Hemos llegado a la solución óptima del problema, al tener valores solamente positivos en nuestro renglón asociado a la función objetivo.

Interpretación de resultados