Bombas hidráulicas

Enunciado del problema

Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas. 1 normales y 2 extra grandes. El proceso de manufactura asociado en la fabricación de las bombas es el de ensamblado, pintura y prueba. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y la utilidad de una bomba extra grande $75. Existen disponibles por semana 4800 hrs. de tiempo de ensamble, 1980 de tiempo de pintura y 900 hrs. de tiempo de prueba. Se espera vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extras grandes por semana.

Planteamiento del modelo

En éste problema, notamos que el objetivo será el de determinar cuántas bombas hidráulicas de cada tipo se deberán de fabricar para alcanzar la ganancia máxima para la empresa.

Vemos que se involucran las utilidades por bomba a producir, por lo que la cantidad de bombas de cada tipo será la variable involucrada en este modelo.

Para este modelo, se prefirió el usar los valores de las restricciones de manera fraccionaria, para que así pueda ser manejado de una manera más comoda.

El modelo de programación lineal asociado al problema mencionado se muestra a continuación:

El significado del modelo es el siguiente:

• La primera restricción se refiere a la cantidad de horas disponibles para el ensamble de las bombas.
• La segunda restricción habla de la cantidad de horas que se disponen para el departamento de pintura.
• La tercera restricción nos da el tiempo disponible en el departamento de pruebas.
• La cuarta restricción habla de la estimación sobre la cantidad que se venderá de las bombas normales.
• La quinta restricción habla de la estimación sobre la cantidad que se venderá de las bombas extra grandes.

Solución del problema

El primer paso para resolver nuestro modelo será el de escribirlo en su forma estándar.

Ahora procederemos a escribir la forma ampliada del modelo, debido a que tenemos restricciones que aún no tienen variable de holgura. Además, ubicaremos la solución inicial apoyándonos de las variables de holgura y las artificiales.

Fase 1

Para la fase 1, resolveremos primero el modelo de minimización asociado sólo a las variables artificiales. El modelo a resolver será el siguiente:

Lo siguiente será el escribir nuestro modelo en su forma de tableau. Tal y como nos indican nuestros pasos, debemos de agregar un renglón adicional corresponiente a nuestra nueva función objetivo w. El resultado de hacerlo es el siguiente:

Como sabemos por el Método Simplex, tendremos a nuestras variables como básicas haciendo su columna un vector unitario. Además, simultáneamente se calculará la variable de entrada y salida. Al hacerlo para las variables artificiales obtenemos lo siguiente:

Se aplica una nueva iteración del método Simplex.

Se llega al final de la fase 1 en la siguiente iteración tal y como se muestra a continuación.

Fase 2

Al finalizar la fase 1, logramos hacer que las variables artificiales no se encuentren en la base, y tenemos una solución básica factible inicial para nuestro modelo original.

Gracias a ello, podemos eliminar el renglón que involucra a la función objetivo w, junto con la columna de la variable artificial resultante, para poder aplicar la segunda fase a la tabla resultante de ello.

Cabe mencionar que esta vez se tomará "el negativo más grande". En la primera fase, se trataba de un problema de minimización, pero en esta segunda se trata de un caso de maximización, ya que es el objetivo del modelo original.

Escribimos la tabla resultante y verificamos las variables de entrada y salida, obteniendo la siguiente tabla:

Al aplicar una iteración más obtenemos nuestra tabla:

Interpretación de resultados