Nutrientes

Enunciado del problema

Carne con papas es el plato preferido de Pablo. Por eso decidido hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas). Pablo sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente información nutricional y de costo:

Planteamiento del modelo

El objetivo del problema es decidir qué cantidad de comida deberá consumir Pablo para poder satisfacer sus requerimientos nutricionales, tomando en cuenta el costo de cada tipo de comida. Lo deseable es satisfacer la necesidad de Pablo ahorrando dinero, por lo cual, hablamos de un caso de minimización.

La variable involucrada en el problema será la cantidad de comida que Pablo deberá adquirir para alcanzar el objetivo.

El modelo asociado al problema, tomando la variable definida queda como sigue:

• La función objetivo contiene los coeficientes del costo de cada tipo de alimento.
• La primer restricción corresponde a los requerimientos de los carbohidratos.
• La segunda restricción corresponde a los requerimientos de las proteínas.
• La tercera, corresponde a los requerimientos de las grasas.
• Por último, se encuentra la condición de no negatividad.

Solución del problema

En primer lugar, pasaremos a plantear el modelo en su forma estándar:

Seguido de ello, plantearemos el modelo en su forma ampliada:

Para aplicar el Método de la M Grande, tendremos que penalizar a la función objetivo por el uso de las variables artificiales.

Seguido de ello, ubicaremos como variables básicas a las de holgura y a las artificiales, por lo que obtendremos lo siguiente:

Ahora, lo que queda es escribir nuestro modelo en su forma de tabla, para poder empezar a resolverlo mediante el Método Simplex.

El siguiente paso es hacer que nuestras variables básicas estén como vectores unitarios en su columna correspondiente, por lo que aplicamos el método de Gauss/Jordan obteniendo lo siguiente:

Teniendo esto, es posible aplicar el Método Simplex de la manera que ya conocemos. Al tratarse de un caso de minimización, tomaremos como variable de entrada a la que tenga en su razón de cambio a "el positivo más grande", y la variable de salida se decide con el criterio de la razón ya conocido. Obtendremos la siguiente tabla:

Ahora, como ya sabemos del Método Simplex, debemos tomar a nuestro elemento pivote, convertirlo en 1 y hacer que lo demás de su columna sea convertido en 0. Esto lo hacemos para tener a nuestra nueva variable básica como un vector unitario.

De manera directa, procederemos a calcular la razón con la nueva tabla para seguir realizando iteraciones de nuestro método.

Nuevamente, realizaremos el Método de Gauss/Jordan para tener nuestro vector unitario correspondiente a la nueva variable básica.

Hemos llegado a la solución, dado que hemos logrado hacer que las variables artificiales no estén dentro de la base y el renglón objetivo contiene solo valores negativos.

Interpretación de resultados