Objectifs pédagogiques:
Ce cours introduit les bases des structures algébriques usuelles, notamment les groupes, anneaux et corps, ainsi que les notions d’homomorphisme. Les étudiants y acquerront une maîtrise des propriétés algébriques des corps R et C, de la divisibilité dans R[x] et C[x], ainsi qu'introduire le corps des fractions rationnelles et réaliser des décompositions en éléments simples. Ces compétences leur permettront de résoudre des problèmes mathématiques complexes et de se préparer efficacement à des modules plus avancés.
Contenu:
Chap I. Structures usuelles (7 séances)
Groupes. Exemple de groupes. Groupe symétrique. Groupe produit. Sous-groupes. Homomorphismes de groupes. Anneaux, Sous anneaux (Anneau Z/nZ), Idéaux, Homomorphismes d’anneaux, Corps ( Corps Z/pZ), les corps R et C
Chap II. Polynômes (3 séances)
Notions de base sur les polynômes à une indéterminée: Définitions et structure. Degrés. Fonctions polynômiales. Racines d’un polynôme. Polynôme dérivé. Formule de Taylor. Etude des anneaux des polynômes R[x] et C[x] (Propriétés arithmétiques). Théorème d’Alembert- Gauss.
Chap III. Fractions rationnelles (2 séances)
Corps des fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples dans R(X) et dans C(X).
Evaluation pédagogique:
Examen de fin de semestre : 50%
Contrôles continus : 50%
Bibliographie recommandée:
A. Doneddu, Structures fondamentales, Tome 1, Vuibert.
Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Presses universitaires de France, 2014.
Michel Queysanne, Algèbre. Premier cycle et préparation aux grandes écoles, Armand Colin.
Jean-Marie Monier, Cours et 700 exercices corrigés. Algèbre MPSI, Dunod, 3rd edition.
D. Guinin, F. Aubonnet, B. Joppin, Algèbre 1: Précis de Mathématiques. Cours, Exercices résolus, Bréal.
J. Rivaud. Algèbre. Classe Préparatoires et Université. Tome 1. Exercices avec solutions. VUIBERT, 2003.
B. Calvo, J. Doyen, A. Calvo, F. Boschet. Exercices d'algèbre. 1er cycle, 1re année, préparation aux grandes écoles. Armand Colin - Collection U, 2004.
Coordinatrice: Pr. S. AOUISSI
Documents:
Notes de cours (version 2022-2023)
Travaux dirigés corrigés 2022-2023
Corrigés de la série 1
Corrigés de la série 2
Corrigés de la série 3
Evaluation:
Contrôles continus 2022-2023
Examen de la session ordinaire 2022-2023
Examen de la session de rattrapage 2022-2023
Objectifs pédagogiques:
Ce cours vise à acquérir les notions des sous-espaces stables et de leurs applications dans la réduction des endomorphismes. Les étudiants développeront des compétences dans les méthodes de diagonalisation, de trigonalisation et de réduction de Jordan, en explorant leurs différentes applications.
Contenu:
Chap I. Polynômes d’endomorphismes (2 séances)
Valeurs propres, vecteurs propres, sous espaces stables Polynômes d’endomorphismes, lemme des noyaux, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton.
Chap II. Diagonalisation, trigonalisation (3 séances)
Endomorphismes et matrices diagonalisables. Endomorphismes et matrices trigonalisables.
Chap III. Décomposition de Jordan (4 séances)
Sous espaces caractéristiques. Réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents. Réduction de Jordan pour les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est scindée. Décomposition de Dunford -Applications.
Chap IV. Applications (3 séances)
Calcul des puissances d’une matrice et son exponentielle. Applications à la résolution des systèmes
d’équations différentiels et aux suites récurrentes
Prérequis:
Algèbre 1 (S1), Algèbre 2 (S1), Algèbre 3 (S2)
Evaluation pédagogique:
Examen de fin de semestre : 50%
Contrôles continus : 50%
Bibliographie recommandée:
Joseph Grifone, Algèbre linéaire, Toulouse Gépaduès, 2015.
Gérard Debeaumarché, Algèbre et Géométrie: 2ème année de prépas scientifiques MP-MP*, Ellipses, 2006.
Jean-Marie Monier, Algèbre 2 – Cours et 500 exercices corrigés, Dunod, 2009.
Jean-François Havet, Algèbre bilinéaire et géométrie euclidienne, Université d’Orléans, Département de Mathématiques, 2013.
Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse, Algèbre bilinéaire et géométrie, Bordas, Paris, 1990.
Documents:
Rappels
Cours d'Algèbre 4 dispensé au titre de l'année universitaire 2022-2023
Travaux dirigés corrigés
Corrigés de la série 1
Corrigés de la série 2
Corrigés de la série 3