Eléments de géométrie riemannienne et construction de filets stationnaires sur la sphère

Jean Chartier

Labo. d'Analyse et de Mathématiques Appliquées, Université Gustave Eiffel

La géométrie riemannienne permet d'étendre aux variétés différentielles abstraites, les outils de mesure adaptés aux sous-variétés de Rn : longueur, angles, vitesse, accélération, courbure... La géométrie riemannienne est une géométrie intrinsèque, en ce sens qu'elle ne s'appuie pas nécessairement sur un espace entourant la variété qu'elle mesure (espace ambiant). La structure de variété riemannienne permet de généraliser le concept de ligne droite, vue comme chemin sans accélération propre. Les lignes droites d'une variété riemannienne sont appelées géodésiques. Nous regarderons quelques constructions de géodésiques périodiques sur les surfaces, en nous attardant sur la méthode de Birkhoff, dite de min-max. Enfin, nous exposerons nos tentatives d'étendre cette méthode à la construction de filets stationnaires sur la sphère.