Geometría Diferencial

Horario: Miercoles- Viernes 10-12h,                      link google meets      

Notas de clases y grabaciones

Observación: para tener acceso a las grabaciones de las clases debes haber ingresado a la cuenta de  google asociada al email institucional de la Universidad de Antioquia.



Listas

Metodología: en la clase del dia X serán seleccionados dos ejercicios del taller Y, estos deben ser enviados por tardar a las 3 pm de ese día al email juan.herrera5@udea.edu.co en formato pdf (Letra legible).

Para  X= 18 de Febrero,  Y=1,    Ejercicios a entregar: 2 y 10.
Para  X= 11 de Marzo, Y=2,   Ejercicos a entregar: 2 y 10.

Para X= 18 de abril, Y=3,  Ejercicios a entregar: 

Para X=29 de abril, Y=4, Ejercicios a entregar: 5 y 6.

Los ejercicios a entregar de la lista 5 (opcional)  seran enviados por email el dia 02.05.2022 a las 12h.



Seminarios

Temas para seminarios



Sobre el trabajo escrito:  Los trabajos escritos deben ser entregados hasta el dia 29.04.2022. En formato latex, esencialmente debe contener un abstract, una clara introducción sobre el tema escogido, el cuerpo del texto debe contener pruebas detalladas, ejemplos y posibles conjeturas personales. Por último, el texto debe contener las referencias usadas, y si es el caso de usar ilustraciones, estas deben ser de autoría propia.


Sobre la presentación: Las presentaciones  serán en la semana del 2-6 de Mayo. Cada presentación debe tener una duración entre 40-50 minutos. Habrá una sección de preguntas de 10 minutos.


Presentaciones 

link google meets      

En el siguiente link hay un formulario con unas pequeñas preguntas sobre las presentaciones:  formulario.

Lunes  2 de Mayo

Hora: 10-11h


 Superficies Mininas
Juan Manuel Castro y Julian Florez

Resumen

Una superficie mínima es una superficie que tiene en cada punto una vecindad que es una superficie de área mínima entre las superficies con la misma frontera. Una condición necesaria y suficiente es que la curvatura media sea igual a cero en todos los puntos. A pesar de ser una propiedad intrínseca la curvatura de Gauss respecto a la curvatura media, por el teorema Egregium, la curvatura media presenta grandes propiedades las cuales serán estudiadas en este documento empezando desde las definiciones más simples hasta demostrar varios teoremas que muestran sus propiedades y conexiones con otras materias como lo puede ser su estrecha relación con el análisis complejo, se mostrarán varios ejemplos de estas superficies que a simple vista no son ejemplos triviales o comunes. Por último, a pesar de los resultados intrincados, esta teoría tiene gran aplicabilidad en temas relacionados a la física o las ecuaciones diferenciales así como los diversos métodos aplicados en ellas. 

Palabras clave: Curvatura media, Problema de Plateau, Análisis complejo.
 

Miercoles 4 de Mayo

Hora: 10.30-11.30h 

Espacios con curvatura constante 

Randolph Peralta y Mateo Martin

    Resumen

  En el estudio de todas las variedades en particular las riemannianas, aquellas que poseen curvatura son un ejemplo muy específico. Por ello no es de extrañar que fuesen precisamente estás las primeras que surgieron en la búsqueda de una estructura geométrica no Euclídea. Los estudios físicos (cosmológicos) apuntan a que el universo posee la forma más sencilla posible, lo que motiva el estudio de los espacios de curvatura constante desde un punto de vista geométrico , algebraico y topológico. Con base a estos estudios de variedades los espacios R^n, hiperbólico H^n y esférico S^n, son los tres modelos básicos que poseen curvatura seccional constante. A partir de estos espacios podemos establecer una relación dentro de los grupos de simetría E(n), O(n) , O_+(n) respectivamente, estos nos ayudan a manejar las métricas, con el objetivo de demostrar el problema de la forma espacial. Con respecto a este problema es importante usar las nociones de longitud de arco, geodésicas y campos de Jacobi con el fin de demostrar que son geodésicamente completas y que pueden moverse libremente por los espacios R^n , hiperbólico H^n y esférico S^n. 



Hora 11.30-12.30h

Curvas y superficies en el espacio de Minkowski

Juan Esteban Londoño

    Resumen

Este trabajo tiene como objetivos principales, poner en contraste algunos aspectos fundamentales del comportamiento de  las curvas y las superficies en el espacio de Minkowski en comparación con el espacio euclídeo, y derivar un modelo de geometría no-euclidiana en base al espacio tridimensional de Minkowski. Se introducirá de manera breve la naturaleza del espacio  tridimensional de Minkowski. Se detallarán los distintos tipos de curvas que se derivan al trabajar en este nuevo espacio, y se probara uno de de los resultados principales de este trabajo, el teorema de las ecuaciones de Frenet en el espacio de Minkowski. Se detallarán también los distintos tipos de superficies que surgen al trabajar con este espacio. Se estudiará la relación entre la naturaleza de las superficies con la primera y segunda forma fundamental. Aquí se probará otro de los resultados principales el cual clasifica y caracteriza los distintos tipos de superficies. Ya contando con las herramientas suficientes, se definirá el plano hiperbólico, el cual usaremos para plantar un modelo de geometría hiperbólica. En conclusión, el espacio de Minkowski adapta el conocimiento construido en el mundo euclídeo y nos permite trabajar en el mundo hiperbólico. Esto resulta bastante útil, en particular nos permite estudiar modelos no-euclídeos que se ajustan mejor al comportamiento de la naturaleza. 

   Palabras clave: espacio de Minkowski, curvas, superficies.


Trabajo escrito: Curvas y superficies en el espacio de Minkowski [Juan Esteban Londoño Velasquez]

Jueves 5 de Mayo.

Hora:  18-19h


    Teoria de Morse para superficies

María Yessenia Álvarez y María Isabel Aristizabal

Resumen


Dada una superficie regular S, es posible conocer su topología a través de los puntos críticos de una función de Morse f. La teoría de Morse será en este contexto una poderosa herramienta para estudiar cómo lucen las superficies entorno de los puntos críticos no degenerados. En este trabajo se abordarán los principales teoremas de la teoría de Morse, los cuales estudian el cambio en la topología cuando una función de Morse pasa por una valor crítico de la función.

Viernes 6 de Mayo.

Hora: 8-10h

 Superficies completas (Teorema de Hopf-Rinow) 

Jose Manuel Jaramillo Toro y Mateo Soto Arango.

Resumen

En este trabajo escrito, hablaremos de las superficies completas, tema particular de la  geometría diferencial. Dentro de la geometría diferencial global. Para ello daremos unas definiciones necesarias que ya hemos estudiado y aprendido en el curso, pero lo hacemos con la motivación, que en una futura ocasión, el lector se contextualice rápidamente en las definiciones focalizadas en superficies completas y sea más amable la lectura de este. En la primera parte estudiaremos y recordaremos definiciones como lo son: ¿qué es una geodésica?, ¿qué es un mapeo exponencial? Para la segunda parte hablaremos de la función intrínseca, mostraremos que en efecto esta función es una función distancia o métrica; daremos algunas proposiciones, lemas y ejemplos para entender la naturaleza de esta función. Para que, en una tercera parte,  definiremos lo que es una superficie completa y el teorema principal de esta parte que es el Teorema de Hopf-Rinow. Hacemos énfasis en que, aunque como referencias usamos los libros [1] y [2].  La mayor parte nos guiamos del enfoque de  [1].  Al finalizar el escrito, veremos el enfoque dado por [2] y como estas dos ideas convergen a una idea global del comportamiento de las superficies completas 


[1] Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer International Publishing.

[2]  do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Estados Unidos: Dover Publications


Hora: 10-11h

Teorema de Fary-Milnor

Santiago Alzate y Edwin Rivera

Resumen


  El presente trabajo busca, más allá de exponer la demostración del teorema de Fáry–Milnor, presentar de manera clara y ordenada las definiciones, proposiciones y resultados necesarios para poder entender y demostrar dicho teorema. Para cumplir con el objetivo planteado, consideraremos tres momentos; en la primera sección se ilustrará con una reseña histórica acerca del desarrollo del teorema y su relación con el Teorema de Frenchel, en el sentido de curvas anudadas. En la siguiente sección se establecerá la notación y preliminares necesarios en la teoría de geometría diferencial para enunciar y demostrar el Teorema de Fary–Milnor, prestando especial interés a los lemas y proposiciones que hacen posible la deducción de su prueba. Para finalizar, en la última sección se iniciará mostrando de qué manera el teorema de  Fary–Milnor se deduce de forma inmediata a partir de las caracterizaciones de curvatura total con curvatura Gaussiana, y la  relación 2–1 para el mapa de Gauss restricto a S_+ en curvas Knotted y posterior a la deducción haremos una ejemplificación del mismo para la Curva Knot Trefoil y así lograr por completo el objetivo de este trabajo.

Trabajo escrito: Teorema de Fary-Milnor [Edwin Rivera, Santiago Alzate]

 Lunes 9 de Mayo

 Hora: 15h

 Campos de Jacobi
Angie Paola Isaza Jaramillo y  Daniel  Foronda

Resumen

 En este trabajo se presentan los campos de Jacobi, su definición y resultados como, el Lemma de existencia y unicidad, su caracterización analítica y propiedades algebraicas. También, se presenta su aplicación al mapa exponencial y su relación con la curvatura Gaussiana. Además de que se brindan los preliminares y ejemplos suficientes, que permiten seguir el trabajo. 

Evaluación

Evaluación

Listas: 4 listas* del 15%,

*: tendremos una 5ta lista sustitutiva, opcional, para quien quiera sustituir la peor nota de las 4 listas anteriores. La lista opcional estará compuesta por 4 ejercicios seleccionados uno por cada lista. 

**Quien quiera optar por la lista 5 debe solicitarla hasta el 22.04.2022.


Seminario: 25% trabajo escrito + 15% presentación oral.

Total =Listas + Seminario=4x15%+(25%+15%)=100%

Referencias

Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer International Publishing.


O'Neill, B. (2014). Elementary Differential Geometry. Estados Unidos: Elsevier Science.


Oprea, J. (2007). Differential Geometry and Its Applications. Estados Unidos: Mathematical Association of America.


do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Estados Unidos: Dover Publications

Montiel, S., Ros, A. (2009). Curves and Surfaces. Espanha: American Mathematical Society.

 Lecturas recomendadas

El geometricon de Jean-Pierre Petit

www.geometrygames.org

Hoja de calculo de maple: curvas 

Hoja de calculo de maple: superficies (en portugues)