- FINAL -
Happy April Fool's Day 2026! Let's define the peculiar new notation that uses EXACTLY four arguments at a time! It is unformalized here since it is defined primarily for celebrating jokes, hoaxes, and pranks.
This notation is barely designed to produce really large numbers or ordinals as an attempt to beat Bashicu matrix system (BMS) and Y sequence. There are two versions of them.
The valid expression F must satisfy:
F is a sequence with exactly four arguments, either a natural number or a nested sequence.
All four arguments must be a positive integer or sequences nested inside of it. No zeroes are allowed.
F can have multiple consecutive sequences in any order.
We denote by F' the set of Four Arguments At A Time sequences, and by S the set of any valid expressions. Before formalizing the extension, let's try a handful of sequences as follows:
[1,1,1,1] = 1
1: [Empty]
2: [Empty]
3: [Empty]
[1,1,1,1][1,1,1,1] = 2
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1]
3: [1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1] = ω
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1] = ω+1
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1] = ω·2
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1] = ω^2
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1] = ω^ω
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1] = ω^ω^ω
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][3,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][3,1,1,1][3,1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(0)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(0)·2
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1] = ψ(0)·ω
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(0)^2
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(0)^ψ(0)
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1][5,1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(1)
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(2)
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][3,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1],1,1,1] = ψ(ω)
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1],1,1,1] = ψ(ψ(0))
1: [1,1,1,1][[1,1,1,1],1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1] = ψ(Ω)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1]
3: [1,1,1,1][[1,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1],1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1] = ψ(Ω)·ω
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(Ω)·ψ(0)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1] = ψ(Ω)^2
1: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][[1,1,1,1][2,1,1,1],1,1,1] = ψ(Ω+1)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1][3,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][[1,2,1,1] = ψ(Ω·2)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]?
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1]?
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1][3,1,1,1][1,2,1,1]?
[I don't care... That won't be defined further anymore]
[1,1,1,1](n)
1: [empty]
2: [empty]
3: [empty]
[1,1,1,1][1,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1]
3: [1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1][1,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1][2,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][3,1,1,1][4,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1](n) [simulates the common limit of Y sequence, equivalent to Y(1,3)]
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][4,1,1,1][8,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][5,1,1,1][14,1,1,1]
[1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][23,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][23,1,1,1][99,1,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1](n) [this effectively beats the regular Y sequence]
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,1,1,1]
3: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1]
4: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1]
5: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1][120,1,1,1]
6: [1,1,1,1][2,1,1,1][6,1,1,1][24,1,1,1][120,1,1,1][720,1,1,1]
Follow the factorial sequence
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1][1,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,1,1,1][1,2,1,1][6,1,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1][1,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,3,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,2,1,1][6,2,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,4,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,3,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,3,1,1][6,4,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,5,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,4,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,4,1,1][6,8,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,5,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][2,5,1,1][6,14,1,1]
[1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][1,24,1,1](n)
1: [1,1,1,1][1,2,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][2,23,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1][2,23,1,1][6,99,1,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,2,1,1]
3: [1,1,1,1][1,2,1,1][1,6,1,1]
[1,1,1,1][1,2,2,1](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][2,2,1,1]
3: [1,1,1,1][2,2,1,1][6,6,1,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,3,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,2,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,2,1][1,6,2,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,4,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,3,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,3,1][1,6,4,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,5,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,4,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,4,1][1,6,8,1]
[1,1,1,1][1,1,2,1][1,1,6,1](n)
1: [1,1,1,1][1,1,2,1]
2: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,5,1]
3: [1,1,1,1][1,1,2,1][1,2,5,1][1,6,14,1]
[1,1,1,1][1,1,1,2](n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,3](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,2]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,2][1,1,6,2]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,4](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,3]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,3][1,1,6,4]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,5](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,4]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,4][1,1,6,8]
[1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6](n)
1: [1,1,1,1][1,1,1,2]
2: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,5]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,2,5][1,1,6,14]
Limit of FAAAT(n)
1: [1,1,1,1]
2: [1,1,1,1][1,1,1,1]
3: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6]
4: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24]
5: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24][1,1,1,120]
6: [1,1,1,1][1,1,1,2][1,1,1,6][1,1,1,24][1,1,1,120][1,1,1,720]
Follow the factorial sequence
...
We can do the limit above and that's the limit of my recent humorous notation. That limit is WAY GREATER THAN the limit of Y sequence extensions such as YY sequence and ω-Y sequence. But it could not beat the Loader's D function there. It is ill-defined and it doesn't make any sense with the comparison.