Bab 9
Bangun Ruang, Keliling, Luas, & Volume

POLIHEDRON (BANGUN RUANG)

Polihedron berasal dari kata poly artinya banyak, sementara hedron artinya bidang. Polihedron adalah sebuah permukaan tertutup sederhana yang terdiri dari daerah-daerah poligon (segi-n). Sekarang, mungkin Anda bertanya, apa itu permukaan tertutup sederhana? Coba kita perhatikan benda-benda di sekitar kita, seperti batu bata, kaleng mentega, lemari, bola basket, dan sejenisnya. Benda semacam ini mempunyai permukaan sebagai pembatasnya, yaitu seperti persegi pajang, lingkaran, segitiga, atau juga bentuk-bentuk poligon yang lain. Dalam polihedron (bangun ruang), batas-batas benda (poligon) seperti itu yang dinamakan dengan permukaan tertutup sederhana. 

Perhatikan benda berikut ini. 

Benda-benda tersebut mempunyai permukaan persegi panjang dan bujur sangkar sebagai pembatasnya, permukaan-permukaan (poligon) inilah yang dinamakan sebagai permukaan tertutup sederhana.

Ada beberapa hal berbeda yang perlu kita perhatikan dalam konsep bangun ruang setelah kita mempelajari poligon.

Sering terjadi miskonsepsi dalam memahami konsep sisi dari bangun-bangun ruang. Dalam sebuah permukaan tertutup sederhana (bangun ruang/polihedron), pengertian sisi adalah bidang-bidang pembatasnya. Sisi tersebut berupa poligon atau dapat juga berupa sisi lengkung. Ruas garis persekutuan dua sisi disebut rusuk, dan titik potong dua rusuk disebut titik sudut. Bangun ruang yang sisi-sisinya berupa poligon, antara lain, prisma, kubus, balok, limas, dan sejenisnya. Sementara bangun ruang yang sisi-sisinya berupa sisi lengkung, antara lain, tabung/silinder, kerucut, dan bola.

Bangun ruang ada yang dibatasi oleh satu macam poligon saja, tetapi ada pula yang dibatasi oleh beberapa macam poligon. Jika pembatasnya hanya terdiri atas satu macam poligon beraturan dan kongruen, maka bangun ruang tersebut dinamakan bangun ruang beraturan/bidang banyak beraturan (polihedron beraturan). Dengan kata lain, bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang bidang sisinya berupa satu macam poligon beraturan yang kongruen. Contohnya, tetrahedron, heksahedron, octahedron, isohedron, dodecahedron, dll. Silahkan Anda buat representasi gambarnya!

Bangun Ruang dan Jaring-jaringnya

Coba Anda perhatikan sebuah kotak kapur, balon yang sudah ditiup, atau mendiskusikan keberadaan ruangan kelas yang dibatasi oleh empat dinding, lantai, dan plafon (langit-langit). Kesemuanya itu merupakan contoh-contoh bangun ruang. Selain itu, masih banyak contoh-contoh bangun ruang yang mempunyai nama-nama khusus seperti prisma, kubus, balok, limas, kerucut, tabung, dan bola. Sementara itu, apa yang dimaksud dengan jaring-jaring? Yang dinamakan jaring-jaring sebuah bangun ruang adalah sisi-sisi yang membentuk bangun ruang tersebut, baik berupa sisi tegak (poligon) ataupun sisi lengkung. Berikut, akan dijelaskan secara lebih rinci. 

Prisma

         Pernahkah Anda mendengar kata prisma? Bisakah Anda menyebutkan salah satu bangun di sekitar kita yang berbentuk prisma? Perhatikan gambar berikut.

Keterangan:

- α dan β dua bidang sejajar

- poligon pertama terletak pada α

- poligon ke-dua terletak pada β

- poligon pertama dan kedua kongruen dan sisi-sisinya berpasangan sejajar.

Bila titik-titik sudut yang seletak dihubungkan, maka semua daerah segiempat yang dibentuk oleh semua garis hubung tersebut, dan daerah kedua segi-n itu akan membentuk prisma. Garis-garis hubung itu akan sejajar pula. Bila segi-n-nya berupa segitiga, maka disebut prisma segitiga, dengan batas alas dan batas atasnya adalah kedua segitiga tersebut. Dengan demikian, prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar.

Prisma adalah gabungan semua sisinya dan bagian dalamnya, yang berupa himpunan titik-titik. Sedangkan nama prisma ditentukan oleh segi-n tersebut, misalnya prisma segitiga, prisma segiempat, dan seterusnya.

Berdasarkan letak rusuk tegaknya terhadap alas prisma, prisma dibedakan menjadi 2; yaitu prisma tegak dan prisma miring. Perhatikan bedanya!

Salah satu keluarga prisma yang sangat penting adalah prisma segiempat. Prisma segiempat ada yang alasnya segiempat sebarang dan ada yang alasnya berupa jajar genjang. Prisma yang alasnya berbentuk jajar genjang disebut paralelepipedum atau paralelepipida. Paralelepipedum dapat dikelompokkan atas dua jenis, yaitu paralelepipedum tegak dan paralelepipedum miring.

         Paralelepipedum tegak masih dapat dikelompokkan menjadi dua jenis lagi, yaitu yang alasnya jajar genjang dan yang alasnya empat persegi panjang. Paralelepipedum yang alasnya berupa persegi panjang disebut balok, jika alas dari sisi-sisi tegak sebuah balok adalah bujur sangkar, maka balok itu disebut kubus.

Silahkan Anda coba buat jaring-jaringnya!

Limas atau Piramida

Pernahkah Anda mendengar kata limas? Kita sering melihat atap sebuah rumah berbentuk seperti limas bukan? Tetapi apa itu limas? Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah poligon (sebagai bidang alas) dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar poligon itu, sedangkan sisi-sisi poligon merupakan alas segitiga-segitiga tersebut. Suatu limas dinamakan limas segitiga, segiempat, segilima, dan seterusnya, jika poligon yang sebagai alasnya juga berbentuk segitiga, segiempat, segilima, dan seterusnya. Perhatikan limas TABCD berikut!

Keterangan:

1.     Segiempat ABCD dinamakan poligon (sebagai bidang alas)

2.     Segitiga-segitiga TAB, TBC, TCD, dan TAD dinamakan bidang-bidang sisi tegak

3.     Titik T dinamakan titik puncak

4.     Ruas garis-ruas garis TA, TB, TC, dan TD dinamakan rusuk-rusuk tegak

5.     Rusuk-rusuk AB, BC, CD, dan DA dinamakan rusuk-rusuk bidang alas

6.     Jarak dari titik puncak pada bidang alas dinamakan tinggi limas

7.     Garis tinggi pada tiap-tiap bidang sisi tegak dinamakan apotema

8.     Bidang-bidang TBD dan TAC dinamakan bidang-bidang diagonal

Perlu diketahui pula bahwa, limas segitiga dinamakan juga sebagai bidang empat. Pada gambar di atas alas TABCD yaitu segiempat ABCD yang merupakan segiempat sembarang. Jika alas suatu limas berbentuk segi-n beraturan, maka dikenal dengan sebutan limas beraturan (limas teratur). Limas beraturan adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya berimpit dengan pusat bidang alas.

Silahkan Anda buat contoh dari limas beraturan! Bedakan pula jaring-jaringnya dengan limas tak beraturan!

Tabung atau Silinder

         Pada bagian terdahulu kita telah membahas permukaan tertutup sederhana dengan sisi-sisinya berupa poligon. Perlu kita ketahui bahwa tidak semua permukaan tertutup sederhana adalah bidang banyak yang bersisi poligon. Ada pula permukaan tertutup sederhana yang sisi-sisinya berupa sisi lengkung. Beberapa diantaranya yang sering kita kenal diantaranya, tabung (silinder), kerucut, dan bola.

Tabung/silinder adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu (r = jari-jari) dari sebuah garis tetap s (sumbu). Hal itu seperti tampak pada gambar berikut.

Benda-benda seperti kaleng susu, drum minyak tanah, kaleng, dan sejenisnya merupakan tabung lingkaran tegak. Jika kita menyebut tabung, maka yang dimaksud adalah tabung lingkaran tegak. Tabung lingkaran tegak atau yang kita sebut tabung, permukaannya terdiri dari dua buah lingkaran dan sebuah sisi lengkung. Kedua lingkaran itu kongruen dan letaknya sejajar, yang kita sebut sebagai alas.

Ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung yang vertikal semua letaknya tegak lurus pada kedua alasnya, sejajar letaknya dan sama panjang. Karena semua ruas garis tegak lurus pada alas dan alasnya adalah lingkaran, maka tabung tersebut disebut tabung lingkaran tegak.

Ada juga yang dinamakan tabung elips tegak. Maksudnya ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus pada alasnya dan alas-alasnya berupa elips. Selain itu, ada yang dinamakan tabung lingkaran miring. Jadi ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung letaknya tidak tegak lurus (miring) terhadap alasnya dan alas-alasnya berupa lingkaran. Silahkan Anda buat representasi gambarnya, dari keterangan tersebut!

Pada umumnya tabung terdiri dari dua alas yang berbentuk dua daerah lengkungan (lingkaran ataupun elips), sejajar dan kongruen dengan sisi lengkung yang merupakan daerah yang dibatasi kedua lengkungan tersebut. Jika ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus terhadap alasnya, maka disebut tabung tegak. sedangkan jika ruas garis-ruas garis itu miring letaknya terhadap alasnya, maka disebut tabung miring.

Sekarang, adakah hubungannya antara prisma dengan tabung? Coba Anda pikirkan!

Kerucut

         Contoh bentuk-bentuk kerucut yang sering kita jumpai dalam kehidupan sekitar kita, diantaranya seperti, topi ulang tahun, contong ice cream, kukusan, atau pun benda-benda lain yang sejenis. Sebuah kerucut terdiri atas dua sisi. Sisi pertama merupakan sebuah daerah lengkungan tertutup sederhana yang datar yang disebut alas. Sisi kedua merupakan daerah lengkungan tertutup sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya. Titik ujung sekutu semua ruas garis tersebut letaknya di luar bidang alas yang disebut puncak kerucut.

         Seperti halnya tabung, kerucut juga ada yang dinamakan kerucut lingkaran tegak, atau yang sering kita sebut kerucut saja, tetapi ada juga kerucut lingkaran miring. Silahkan Anda cari apa perbedaannya!

Perhatikan kerucut di bawah ini!

Pada gambar kerucut di atas, kita dapat membuat definisi, bahwa kerucut  (kerucut lingkaran tegak) adalah tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (berpusat di N, jari-jari r) sehingga garis PN tegak lurus bidang lingkaran. Titik P disebut titik puncak dengan tinggi t, lingkaran (N, r) disebut lingkaran alas, sedangkan PN dinamakan sumbu kerucut. Sementara garis-garis tersebut (garis PA dan garis PB) dinamakan dengan garis-garis pelukis.

         Dari definisi tersebut, kita juga dapat menguraikan sifat-sifat kerucut, diantaranya adalah:

1. Semua garis pelukis sama panjangnya (diukur dari puncak sampai titik potongnya dengan lingkaran alas). Garis-garis pelukis tersebut dinamakan apotema kerucut.

2.  Semua garis pelukis membentuk sudut-sudut yang sama besar terhadap garis PN. Sudut itu disebut setengah sudut puncak.

3.  Semua garis pelukis membentuk sudut-sudut yang sama besar terhadap bidang alas. Sudut itu disebut sudut alas.

Dari gambar, mana-mana saja yang dinamakan setengah sudut pusat dan mana yang dinamakan sudut alas?

Bola

         Tentunya kita sudah tidak asing lagi dengan bola, bentuknya pun kita sudah sangat hafal. Tetapi, apa itu bola? Anda masih ingat definisi lingkaran? Definisi bola mirip dengan lingkaran, hanya bedanya kalau lingkaran pada bidang sedangkan bola adalah ruang. Perhatikan gambar berikut!

Bola adalah tempat kedudukan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama ( r = jari-jari) dari sebuah titik tetap M, yaitu yang disebut titik pusat bola. Seperti juga lingkaran, dalam bola juga dikenal tali busur dan garis tengah. Tali busur bola adalah garis hubung dua buah titik sebarang yang terletak pada bola. Pada gambar, garis PQ adalah tali busur. Sedangkan tali busur yang melalui titik pusat disebut garis tengah (diameter) bola, yaitu garis AB.

Pernahkah Anda membayangkan, seandainya kita mempunyai kubus yang kita potong tiap sudut-sudutnya, dan hal itu kita lakukan sampai tak hingga kali banyaknya, kira-kira bangun ruang apa yang terbentuk?

Coba Anda pikirkan, seperti apa bentuk jaring-jaring bola?

Seperti apa jaring-jaring bangun ruang, akan banyak dibahas pada bagian luas daerah bangun ruang.

Latihan Soal 9.1

1.    Buatlah pengertian tentang bangun ruang menurut pemahaman Anda!

2.   Dari pemahaman Anda mengenai bangun ruang, bisakah dalam sebuah kubus terdapat sebuah  bola, dimana diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus? Jelaskan!

3.   Apa yang dinamakan bidang banyak beraturan? Sebutkan contohnya!

4.  Berikan penjelasan Anda mengenai tetrahedron, heksahedron, octahedron, isohedron, dan  dodecahedron!

5.   Dari pengertian prisma, balok dan kubus ternyata dapat dimasukkan dalam jenis prisma juga, namun demikian prisma yang bagaimanakah? Jelaskan!

6.  Buatlah sebanyak mungkin jaring-jaring kubus yang dapat Anda temukan! Ada berapa semuanya?

7.   Jika kita mempunyai sebuah kubus, kemudian tiap sudutnya kita potong, dan pemotongan ini kita lakukan sebanyak tak hingga kali. Kira-kira bangun ruang apa yang terjadi?

8.  Berikan contoh (gambar) limas beraturan dan limas yang tak beraturan! Serta bedakan jaring-jaringnya!

9.    Apakah tabung dapat dikategorikan sebagai prisma? Berilah penjelasan terhadap jawaban Anda!

10. Buatlah gambar sebuah kerucut, kemudian jelaskan mana yang dinamakan setengah sudut pusat dan mana yang dinamakan sudut alas!

11. Darimana nilai π = 3,14 diperoleh? Jelaskan dengan serangkaian kegiatan!

KELILING, LUAS, DAN VOLUME

         Pernahkah Anda mendengar, “Sebagai hukuman, silahkan kamu lari keliling lapangan 5 kali!”. Kadang lapangan disini, ada yang berbentuk lingkaran, tetapi kadang juga berbentuk persegi atau persegi panjang. Sekarang apa yang dimaksud ‘keliling’ disini? “Wah…lapangannya luas sekali, apa saya sanggup ya?”, apa arti ‘luas’ disini? Berikut akan dijelaskan lebih detail.

A. Keliling

Kalimat, “Sebagai hukuman, silahkan kamu lari keliling lapangan 5 kali!”. Kadang lapangan disini, ada yang berbentuk lingkaran, tetapi kadang juga berbentuk persegi atau persegi panjang. Secara mudahnya, kita dapat memahami arti kalimat tersebut bahwa, kita harus mengelilingi lapangan sesuai panjang lintasan tepi lapangan, dengan kata lain kita harus mengukur lima kali ‘panjang lintasan’ lapangan tersebut. Panjang lintasan inilah yang dalam geometri kita kenal sebagai ‘keliling’, dimana lapangan tersebut sebagai bidang yang akan kita ukur kelilingnya.

Keliling yaitu jumlah ukuran panjang dari ruas-ruas garis yang membentuk sebuah bidang. Atau dengan kata lain, keliling adalah jumlah ukuran panjang dari sisi-sisi sebuah bidang/poligon. Menghitung keliling termasuk salah satu dari kegiatan pengukuran satu dimensi, yaitu panjang. Kita dapat menghitung keliling sebuah bidang.

Perhatikan segitiga berikut. 

Silahkan Anda temukan rumus keliling untuk bangun-bangun (poligon) yang lain!

 B. Luas Poligon

“Wah…lapangannya luas sekali, apa saya sanggup ya?”, apa arti ‘luas’ disini? Kembali lagi ke definisi keliling sebuah bidang, kalau keliling hanya mengukur panjang sisi-sisi (tepi) pada bidang, maka kalau luas adalah mengukur ‘daerah dalam (termasuk tepi/sisi)’ sebuah bidang/poligon. Dengan kata lain, mengukur luas hakikatnya menghitung luas daerah sebuah poligon. Menghitung luas suatu daerah termasuk dalam kegiatan pengukuran dua dimensi. Untuk selanjutnya, perkataan ‘luas’ poligon (segitiga, segiempat, dst) yang dimaksudkan adalah ‘luas daerah’ poligon.

Untuk setiap poligon, ada korespondensi dengan sebuah bilangan real positif. Bilangan real positif inilah yang menyatakan ‘luas’ poligon tersebut. Pertanyaannya sekarang adalah, bagaimana cara menghitung luas sebuah poligon? Mungkin kita sudah hafal, bahkan terlalu hafal dengan rumus-rumus luas poligon, seperti rumus luas segitiga, segiempat dan sebagainya, tetapi apakah kita tahu darimana rumus itu diperoleh?

Luas Persegi Panjang

Perhatikan persegi panjang ABCD berikut ini.

Anda pasti hafal, bahwa luas persegi panjang di atas sama dengan 12 cm2, yaitu 6 cm (panjang) X 2 cm (lebar). Tapi pernahkah kita bertanya, mengapa demikian? Darimana kita tahu, bahwa luas persegi pajang sama dengan panjang dikalikan lebarnya.

         Kembali ke pengertian bidang, pada bagian terdahulu. Sebuah bidang dapat dipikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet (garis) dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Perhatikan kembali persegi panjang ABCD di atas! Dengan memperhatikan definisi bidang tersebut, hal ini berarti, menghitung luas persegi panjang adalah menghitung panjang semua garis (6 cm) yang berjajar secara rapat dan tak terbatas, sampai mencapai ketinggian (selebar) 2 cm. Tetapi mungkin ini terlalu sulit untuk dapat dipikirkan/dibayangkan.

Ada analogi yang lebih mudah untuk dapat diterima. Menghitung luas sebuah bidang hakikatnya kita menghitung luas daerahnya. Misalkan kita mempunyai petak satuan (persegi satuan), yaitu persegi yang ukuran sisinya satu (satuan panjang). Untuk lebih mudahnya, kita ibaratkan bahwa petak satuan yang kita miliki, bersisi 1 cm. Kemudian persegi panjang ABCD di atas kita tutup dengan petak satuan tadi, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.

Sekarang kita hitung, ada berapa petak satuan yang menutupi permukaan persegi panjang ABCD? Ternyata petak satuan seluruhnya berjumlah 12 petak satuan. Angka 12 petak satuan itu sebenarnya diperoleh dari 6 petak satuan (panjang) x 2 petak satuan (lebar). Karena petak satuan tadi adalah sebuah persegi dengan sisi 1 satuan (1 cm), maka dengan kata lain luas dari persegi panjang ABCD adalah 6 cm (sebagai panjang) x 2 cm (sebagai lebar) = 12 cm2, atau L = panjang (p) x lebar(l).

Sebenarnya kegiatan di atas, untuk menemukan bahwa luas persegi panjang adalah panjang dikalikan lebar, menggunakan pendekatan luas persegi/bujur sangkar, yaitu petak satuan tadi. Setelah kita tahu, bahwa luas persegi panjang adalah panjang dikalikan lebarnya, banyak rumus luas bangun-bangun yang lain menggunakan pendekatan rumus ini. Misalnya, luas segitiga, trapesium, layang-layang, atau juga bangun belah ketupat, ataupun lingkaran. Bagaimana penjelasan untuk ini?

Luas Persegi

         Perhatikan persegi di bawah ini!

Sebagaimana definisi sebuah persegi, dimana persegi merupakan persegi panjang yang sepasang sisinya yang berdekatan saling kongruen (s), maka kita dapat mencari rumus luasnya dengan pendekatan luas persegi panjang. Luas persegi panjang adalah panjang dikalikan lebar, sementara dalam persegi, panjangnya sama dengan lebarnya, sehingga rumusnya menjadi,

L. ABCD = panjang x lebar

L. ABCD = sisi x sisi

L. persegi = s x s

L. persegi = s2

Luas Segitiga

         Bagaimana dengan rumus luas segitiga? Perhatikan ΔABC, dengan tinggi t dan alas a, di bawah ini!

Untuk ΔABC di atas merupakan setengah dari bentuk persegi panjang (jajar genjang) yang sesuai, yaitu sebagai berikut.

Terlihat jelas bahwa ΔABC adalah setengah dari daerah persegi panjang ABCD. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus persegi panjang, kita dapat mencari rumus luas segitiga.

Rumus ini tidak hanya berlaku untuk segitiga siku-siku sebagaimana ΔABC di atas tadi, tetapi juga berlaku untuk semua segitiga (segitiga sembarang), asalkan kita tahu panjang alas dan tingginya. Benarkah demikian? Silahkan Anda temukan rumus luas segitiga dengan pendekatan luas jajar genjang!

Luas Jajar Genjang

         Rumus luas jajar genjang dapat dicari dengan pendekatan rumus persegi panjang juga. Perhatikan jajar genjang berikut!

ABCD adalah sebuah jajar genjang, dengan tinggi t dan alas a. Kalau kita akan menggunakan pendekatan rumus persegi panjang, pertanyaannya sekarang, apakah kita dapat membentuk sebuah persegi panjang dari sebuah jajar genjang tersebut? Jawabannya, bisa.

Perhatikan gambar di atas, daerah ABCD bukan lagi berbentuk jajar genjang tetapi berupa persegi panjang dengan panjang a dan lebar t. Sehingga luasnya,

L. ACDE = panjang x lebar

L. jajar genjang = a x t

Luas Trapesium

Sebagaimana pernah disinggung pada bagian terdahulu, bahwa trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisi yang berhadapan saling sejajar. Sisi-sisi yang sejajar tersebut disebut alas. Ada beberapa macam bentuk trapesium, yaitu 1) trapesium sama kaki, 2) trapesium siku-siku, dan 3 trapesium sembarang.       

Trapesium sama kaki adalah trapesium yang pasangan sisi yang tidak sejajar saling kongruen. Sedangkan trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. Sementara trapesium sembarang adalah trapesium yang selain trapesium sama kaki ataupun trapesium siku-siku. Adapun perbedaannya, adalah sebagai berikut.

Bisakah Anda menemukan letak perbedaannya? Sekarang bagaimana dengan luas trapesium masing-masing?

Kita akan coba untuk menemukan rumus luas masing-masing trapesium dengan pendekatan luas persegi panjang sebagaimana telah kita ketahui.

1.   Trapesium sama kaki

Untuk dapat menemukan rumus luas trapesium sama kaki, silahkan ikuti kegiatan berikut! 

Perhatikan trapesium sama kaki di bawah ini! Dari trapesium sama kaki, kita lakukan pemotongan dan pemindahan pada bagian-bagian tertentu.

Dari pemotongan dan pemindahan pada bagian-bagian tertentu tersebut, diperoleh bentuk persegi panjang seperti berikut ini. 

Dengan bentuk persegi panjang seperti di atas, kita dapat menentukan rumus luasnya, yaitu:

Coba lakukan dengan cara yang sama untuk trapesium siku-siku & trapesium sembarang!

Luas Belah Ketupat dan Layang-layang

         Silahkan Anda temukan sendiri sebagai latihan pemantapan pemahaman Anda terhadap konsep luas!

Luas Lingkaran

         Kita tentunya sudah tidak asing lagi dengan bentuk lingkaran. Tetapi bagaimana untuk dapat menemukan kembali bahwa luas lingkaran adalah π r2 (r = jari-jari lingkaran)? Sementara dari penjelasan sebelumnya, kita hanya tahu rumus persegi panjang? Perhatikan kegiatan berikut.

Gambar di atas adalah lingkaran P, yaitu sebuah lingkaran dengan pusat di P. Garis AB dan garis CD adalah diameter lingkaran P, sehingga garis AP, garis BP, garis CP, dan garis DP adalah jari-jarinya, yang sama dengan r. Kita akan mencari rumus luas lingkaran P dengan pendekatan rumus luas persegi panjang, yaitu sebagai berikut.

Pertama-tama kita bagi lingkaran menjadi beberapa daerah juring, sebagaimana gambar berikut.

Karena kita hanya membagi daerah lingkaran dalam sudut 30º, maka hanya ada 12 juring yang kongruen. Kemudian juring-juring tadi kita susun menjadi seperti tampak pada gambar disampingnya. Daerah ABCD tersebut, mungkin lebih mirip bentuk persegi panjang, akan tetapi sisi panjangnya bukanlah garis yang lurus, masih ada lengkungan dari bentuk lingkaran.

Seandainya kita membagi lingkaran P dalam sudut yang lebih kecil, misalkan 10º, sebagaimana tampak pada gambar berikut.

Sekarang daerah ABCD lebih terlihat sebagai persegi panjang, seandainya sebuah lingkaran kita bagi menjadi juring-juring yang lebih kecil lagi, berarti akan membentuk persegi panjang secara sempurna.

         Perhatikan kembali persegi panjang ABCD di atas, garis AB dan garis CD masing-masing adalah setengah keliling lingkaran P, yaitu π r. Sementara garis BC dan garis AD masing-masing adalah jari-jari lingkaran P, yaitu r. Sehingga dari sini, kita dapat mencari luas persegi panjang ABCD, yaitu:

         L. ABCD = panjang x lebar

         L. lingkaran = π r x r

         L. lingkaran = π r2

Ngomong-ngomong nilai π = 3,14, diperoleh darimana?

C. Luas Bangun Ruang

Bagaimana sekarang untuk penghitungan luas pada bangun ruang geometri? Menghitung luas bangun ruang hakikatnya, menghitung jumlah semua daerah permukaannya, yaitu menghitung luas daerah sisi-sisinya. Sebagai contoh.

Luas Balok

         Perhatikan balok ABCDEFGH di bawah ini!

Diketahui sebuah balok ABCD EFGH, dengan panjang tiap sisi-sisinya seperti pada gambar. Menghitung luas balok, berarti kita akan menghitung luas sisi-sisinya. Tetapi sebelum itu, kita akan menguraikan jaring-jaring balok terlebih dahulu.

Dari jaring-jaring tersebut, kita dapat mengetahui bahwa sisi-sisi yang membentuk balok semuanya ada 6 buah sisi, yang masing-masing berbentuk persegi panjang. Dua buah persegi pajang dengan panjang 12 cm dan lebar 7 cm, dua buah persegi pajang dengan panjang 12 cm dan lebar 4 cm, dan dua buah persegi pajang dengan panjang 7 cm dan lebar 4 cm. Dari sini, untuk dapat menghitung luas balok ABCDEFGH, kita hanya perlu menghitung:

= (2 ( 12 x 7)) + (2 ( 12 x 4)) + (2 ( 7 x 4)) cm2

= 2 ( (12 x 7) + (12 x 4) + (7 x 4)) cm2

= 2 (84 + 48 + 28) cm2

= (2 x 160) cm2

= 320  cm2

Atau kita juga dapat mencari rumus singkatnya, yaitu:

L. ABCDEFGH = 2 ((p x l) + (p x t) + (l x t))

Untuk bangun-bangun ruang yang lainnya, silahkan Anda temukan sendiri luasnya dan bila perlu cari rumus singkatnya!

Luas Bola

Bagaimana dengan luas permukaan bola? Coba Anda ikuti kegiatan berikut.

Alat peraga:

-        2 bola bekel yang kongruen)

-        pisau kecil

-        benang kasur/tali temali

Kegiatan:

1.  Belahlah salah satu jeruk nipis menjadi dua bagian yang tepat sama besar (kongruen).

2. Hitung luas lingkaran belahan jeruk nipis tadi dengan cara melingkarkan benang kasur/tali temali di permukaannya, sampai seluruh permukaan lingkaran belahan jeruk tertutup seluruhnya oleh benang tadi. Misalkan diperoleh L. lingkaran = π r2, dimana r = jari-jari lingkaran belahan jeruk. Seperti halnya tampak pada gambar berikut.

 3.  Dengan benang yang sama, lilitkan benang pada permukaan jeruk yang lain yang kongruen, sampai seluruh permukaannya tertutup oleh lilitan benang. Misalkan hasilnya L. permukaan jeruk = L. Seperti tampak pada gambar berikut. 

4.  Sekarang bandingkan hasil kegiatan no.2 dengan hasil kegiatan no.3. Apakah, L. permukaan jeruk =   4 x L. lingkaran, atau L. jeruk = 4 π r2?

5.  Coba Anda ulangi kegiatan tersebut dengan menggunakan jeruk nipis yang diameternya berbeda-beda. Apa yang dapat Anda simpulkan dari kegiatan ini?

D. Volume Bangun Ruang

Menghitung volume/isi termasuk dalam kegiatan pengukuran tiga dimensi. Volume adalah suatu ukuran yang menyatakan besar suatu bangun ruang. Mengukur volume berarti membandingkan besar sesuatu dengan sesuatu yang mempunyai besar tertentu, yaitu sesuatu bangun ruang yang menjadi patokan yang disebut satuan volume (volume satuan).

         Patokan satuan volume yang dipakai sebagai ukuran suatu bangun ruang biasanya berupa bangun ruang yang lebih kecil. Untuk menentukan volume suatu bangun ruang, kita lakukan dengan membandingkan bangun ruang tersebut dengan bangun ruang yang lebih kecil. Kita dapat menggunakan bangun ruang apa saja sebagai patokan satuan volume, misalnya kubus kecil, batu bata, kelereng, dll.

         Bangun ruang yang akan diukur volumenya, diisi dengan bangun ruang yang dijadikan patokan suatu volume sampai penuh, lalu dihitung berapa banyaknya satuan yang dapat mengisi bangun ruang tersebut sampai penuh. Umumnya yang dipakai sebagai patokan satuan volume (satuan) untuk mengukur volume bangun ruang adalah kubus (kubus satuan), yang panjang rusuknya satu satuan.

         Dalam hal ini, kita akan menggunakan patokan satuan volume berupa kubus, yang panjang rusuk-rusuknya 1 cm sehingga volumenya 1 cm3. Terkait dengan kubus satuan ini, maka yang dinamakan dengan volume suatu bangun ruang adalah banyaknya satuan volume yang dapat tepat mengisi bagian ruang yang ditempati oleh bangun tersebut. Dengan pengertian tersebut, berarti kita harus mencari bilangan yang menunjukkan banyaknya satuan volume. Untuk lebih jelasnya, mari kita ikuti kegiatan berikut!

Volume Kubus

Perhatikan kubus ABCDEFGH !

Kita ingat kembali bahwa, setiap bangun ruang berisi himpunan titik-titik tak hingga banyak. Ini artinya dalam ruang sebuah bangun ruang juga terdapat garis/ruas garis, ataupun bidang yang tak hingga banyak pula.

Perhatikan kembali kubus ABCDEFGH, bidang ABCD adalah sebuah bidang persegi dengan sisi 3 cm. Hal ini berarti, bahwa dalam kubus tersebut ada tak hingga banyak bidang-bidang persegi yang kongruen dengan persegi ABCD, yang berjajar secara rapat sampai membentuk ketinggian garis AE yaitu setinggi 3 cm. Sehingga untuk menghitung volume kubus tersebut, sama halnya kita menghitung banyaknya luasan persegi-persegi dengan sisi 3 cm, yang berjajar secara rapat sampai ketinggian 3 cm. Untuk satu buah persegi, luasnya 9 cm2. Karena persegi-persegi dengan luas 9 cm2 tersebut ada tak hingga banyak, yang berjajar secara rapat sampai mencapai ketinggian 3 cm, berarti ada 9 cm2 x 3 cm luasan bidang (besar kubus) yang diperlukan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa besar/volume kubus tersebut adalah 9 cm2 x 3 cm = 27 cm3. Dengan kata lain, kita peroleh bahwa rumus volume kubus adalah 3 (rusuk) x 3 (rusuk) x 3 (rusuk) cm3 . Atau disingkat, bahwa V. kubus = r3.

         Ada analogi yang mungkin lebih dapat diterima, yaitu menggunakan kubus satuan (kubus yang mempunyai rusuk 1 cm, sehingga volumenya 1 cm3). Kubus satuan-kubus satuan kita masukkan dalam kubus yang berukuran (3 x 3 x 3) cm tersebut, seperti tertera pada gambar berikut.

Kemudian kita hitung semua kubus satuan yang memenuhi kubus ABCDEFGH. Ternyata semua ada 27 kubus satuan, dimana satu buah kubus satuan masing-masing volumenya 1 cm3. Sehingga seluruh volume kubus satuan berjumlah 27 cm3, yang tidak lain menunjukkan besar/volume kubus ABCDEFGH.

Bagaimana dengan volume balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola? Silakan, dipikirkan sebagai latihan!

Latihan Soal 9.2

1.  Temukan rumus keliling persegi panjang, bahwa K = 2 (p x l)!

2.  Temukan rumus keliling persegi, bahwa K = 4s !

3.  Dengan menggunakan pendekatan rumus luas persegi panjang, temukan kembali rumus luas layang-layang!

4.  Dengan menggunakan pendekatan rumus luas persegi panjang, temukan kembali rumus luas belah ketupat!

5.  Buatkan jaring-jaring tabung, dan beri penjelasan mengapa volume tabung sama dengan luas alas dikalikan tingginya (secara konstruktivisme)!

6.  Sebuah tabung tepat berada dalam sebuah kubus. Jika panjang rusuk kubus adalah 7 cm, maka volume kubus di luar tabung adalah ….

7.  Luas permukaan kubus yang volumenya 1000 cm3 adalah ….

8. Pasangan bangun ruang apa, yang dapat digunakan sebagai media yang sesuai untuk menjelaskan konsep volume bola? Jelaskan prosesnya!

9.  Bangun ruang apa yang dapat digunakan sebagai media yang sesuai untuk menjelaskan konsep volume kerucut? Jelaskan prosesnya!

10. Berapa perbandingan luas daerah permukaan bak yang panjang diameternya  berbanding sebagai 4 dan 8 ?

11.  Buatlah angka perbandingan antara volume tabung, kerucut, dan bola yang mempunyai jari-jari sama panjang! Apa yang dapat Anda simpulkan?

Silakan kerjakan Soal Latihan 9.1 dan Latihan Soal 9.2 di atas, dan dikumpulkan paling lambat Kamis 9 Mei 2024 pukul 23.59 WIB!

Informasi Penting!!!

Deadline pengerjaan Kuis 9, Kamis 9 Mei 2024 pukul 23.59 WIB!