Pendalaman Materi Matematika SD

• BAB 1
  BILANGAN

A.  Permasalahan dalam Kehidupan Sehari-hari

Di sebuah desa di lereng pegunungan, mendadak warga dikagetkan dengan adanya suatu musibah. Musibah ini sangat merugikan warga, di mana beberapa warga yang mempunyai ternak seperti sapi, kerbau, ataupun kambing mendadak mati atau bahkan hilang tanpa bekas.

Misalnya Pak Sarmo, ketika pagi-pagi ia mendapatkan seluruh kambingnya hilang, dengan meninggalkan beberapa ceceran darah di sekitar kandang. Sementara Pak Soma, sapi yang ia ternak hilang satu, bersih tanpa sisa, akan tetapi masih diuntungkan karena di kandang yang lain, kerbau-kerbau yang ia ternak masih utuh selamat.

Pada pagi di hari yang sama, Pak Wardi mencoba menghitung seluruh kambing yang ia miliki. Ia mulai dengan membilang, satu, dua, tiga, empat, ..., dan sembilan puluh tiga. Setelah semuanya terhitung, ia sangat gembira karena justru ternaknya bertambah empat. Ada seekor induk kambing yang baru saja melahirkan empat ekor anak. Dengan perasaan yakin dan senang, Pak Wardi bersyukur karena ternaknya tidak ada yang hilang atau terluka satu pun.

Apa sebenarnya yang terjadi?

B. Pengenalan Bilangan

Dalam istilah sehari-hari, kita seringkali menggunakan istilah-istilah bilangan sebagaimana cerita di atas. Hal ini karena memang konsep-konsep tersebut lahir dari adanya kebutuhan manusia. Munculnya sistem bilangan pun secara bertahap sesuai dengan kemajuan peradaban manusia serta kebutuhannya.

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas yang meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

 Bilangan adalah suatu hal yang penting dalam matematika, karena matematika tidak akan terlepas dari bilangan. Sistem bilangan dapat diartikan sebagai himpunan dari bilangan-bilangan, beserta sifat operasi yang berlaku di dalamnya, seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya. Bilangan adalah suatu unsur dalam matematika yang tidak didefinisikan. Bilangan dibedakan antara nilai dan lambangnya.

Dalam istilah penggunaan sehari-hari, angka, bilangan, dan nomor seringkali disamakan. Padahal secara definisi angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan Angka Hindu-Arab "5" (sistem angka berbasis 10), "101" (sistem angka biner), maupun menggunakan Angka Romawi 'V'. Lambang "5", "1", "0", dan "V" yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Sementara, nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" sangat erat terkait dengan pengertian urutan.

Arti kata angka lebih mendekati arti kata digit dalam Bahasa Inggris. Kelihatannya, belum ada kata yang tepat dalam Bahasa Indonesia sebagai terjemahan secara tepat dari  kata ‘digit’. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang, karena tertulis dari sebuah bilangan.

Sebagai contoh:

“Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0”.

Dalam sistem bilangan setidaknya meliputi: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, serta bilangan kompleks. Dalam bilangan asli itu sendiri, masih dibedakan antara bilangan prima dan bilangan komposit.

1. Bilangan Asli & Bilangan Cacah

Bilangan asli muncul pertama, berawal dari kebutuhan manusia untuk membilang (menghitung). Kita bisa lihat kembali cerita di awal. Meski manusia belum tahu tentang bilangan, akan tetapi pada suatu saat mereka membutuhkan “sesuatu” yang dapat menandai adanya jumlah suatu benda, yaitu dengan membilang.

Bilangan asli memiliki asal kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dan dimulai dari bilangan satu. Dalam proses membilang tentunya diawali dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Itulah mengapa sebabnya bilangan asli muncul pertama kali dalam peradaban manusia. Kemunculan bilangan asli ini disusul dengan munculnya lambang bilangan. Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, bahwa bilangan adalah suatu unsur dalam matematika yang tidak didefinisikan (abstrak), sehingga di dalam bilangan perlu dibedakan antara nilai dan lambangnya.

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang lebih besar dari 0 (nol). Himpunan bilangan ini dinotasikan dengan , yang berasal dari kata natural number. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan,

Bilangan asli memiliki setidaknya 2 tujuan, yaitu 1) untuk menghitung (cardinal number); 2) untuk menyatakan tingkatan (ordinal number).

Jika dalam himpunan tersebut ditambahkan dengan nol, maka menjadi himpunan bilangan cacah, yaitu:

Bagaimana dengan bilangan 0 (nol) ?

Bilangan 0 (dibaca nol atau kosong) adalah suatu angka dan digit angka yang digunakan untuk mewakili angka dalam angka. Angka nol memainkan peranan penting dalam matematika sebagai identitas tambahan bagi bilangan bulat, bilangan real, dan struktur aljabar lainnya. Sebagai angka, nol digunakan sebagai tempat dalam sistem nilai tempat. Al-Khawarizmi, seorang ilmuwan kelahiran Uzbekistan meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.

2. Bilangan Bulat

Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya dari 0, adalah negatif 2 (-2). Suhu di daerah kutub rata-rata 20o dibawah 0o dinyatakan -20o, untuk itu kita harus memperluas himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan lain yaitu dengan himpunan lawan dari bilangan asli atau himpunan bilangan bulat negatif yang disebut bilangan bulat yaitu: {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}.

Sesuai dengan namanya, bulat, berarti tidak menyertakan pecahan, baik itu positif, negatif, ataupun bilangan nol. Dalam bilangan bulat, dikatakan positif jika bilangan tersebut lebih besar dari 0, dan dikatakan negatif jika bilangan tersebut lebih kecil dari 0. Bagaimana dengan 0 itu sendiri? Bilangan nol kita pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada suatu sistem numerasi, sehingga kita dapat membedakan antara bilangan 21, 20, dan 201.

Bilangan bulat dinotasikan dengan  (Zahlen, German for numbers) sehingga,

Latihan Soal 1

Kerjakan soal berikut, dengan teliti!

1.  Diketahui bilangan bulat positif K dan bilangan bulat positif L. Bilangan K tersusun dari 4 angka, sedangkan bilangan L tersusun dari 5 angka.

Manakah bilangan yang lebih besar?

a. Jelaskan dan ceritakan strategimu untuk mendapatkan jawaban!

b. Kemudian, tentukan, manakah bilangan yang lebih besar?

2.  Diketahui bilangan A dan B adalah bilangan bulat positif. Bilangan A dan B sama-sama tersusun dari 4 angka. Bagaimana langkahmu untuk menentukan bilangan yang lebih besar? Jelaskan!

3.  Diketahui bilangan C dan D adalah bilangan bulat negatif. Bilangan C tersusun dari 3 angka, sedangkan bilangan D tersusun dari 4 angka.

a. Manakah bilangan yang lebih besar?

b. Jelaskan dan sertakan cara/langkah dalam mengerjakan!

4.  Diketahui bilangan X, Y, dan Z.

Bilangan X = 123abc

Bilangan Y = 45bcde

Bilangan Z = 9abcd

Jika setiap huruf pada bilangan tersebut mewakili suatu angka, urutkan bilangan tersebut dari yang terbesar!

Jelaskan Langkah pengerjaamu!

5.  Diketahui bilangan bulat positf K dan L.

Bilangan K = abcdefgh6

Bilangan L = abcdefgh5

Jika setiap huruf pada bilangan tersebut mewakili suatu angka, bilangan manakah yang lebih besar? Jelaskan!

Silakan kerjakan Latihan Soal 1, dan dapat dikumpulkan paling lambat Kamis, 15 Februari 2024 pukul 23.59 WIB!

Informasi Penting!!!

Deadline pengerjaan Kuis 1, Kamis 15 Februari 2024 pukul 23.59 WIB