Bab 8
Kurva, Poligon, & Simetri

A. Kurva

Perhatikan pertanyaan berikut:….*)

Apakah sama, antara bidang segi tiga dengan kurva segi tiga?

Kurva atau disebut juga dengan lengkungan adalah bentuk geometri satu dimensi yang dapat terletak pada bidang ataupun ruang. Kurva yang terletak pada bidang didefinisikan sebagai hasil goresan alat tulis yang meninggalkan bekas pada bidang tulis tanpa mengangkat.

Jenis-jenis Kurva

Kurva atau lengkungan yang terletak pada bidang dapat diklasifikasikan menjadi empat jenis, yaitu: (1) kurva terbuka sederhana, (2) kurva terbuka tidak sederhana, (3) kurva tertutup sederhana, dan (4) kurva tertutup tidak sederhana.

Kurva terbuka sederhana adalah lengkungan yang titik awalnya tidak berimpit dengan titik akhirnya dan tidak ada titik potong pada kurva tersebut.
Kurva terbuka tidak sederhana adalah lengkungan yang titik awalnya tidak berimpit dengan titik akhirnya dan ada titik potong pada kurva tersebut.
Kurva tertutup sederhana adalah lengkungan yang titik awalnya berimpit dengan titik akhirnya dan tidak ada titik potong pada kurva tersebut.
Kurva tertutup tidak sederhana adalah lengkungan yang titik awalnya berimpit dengan titik akhirnya dan ada titik potong pada kurva tersebut.

Berikut contoh jenis-jenis kurva berdasarkan sifatnya.

Gambar:

Kurva terbuka sederhana
Kurva terbuka tidak sederhana
Kurva tertutup sederhana
Kurva tertutup tidak sederhana

Apakah Anda sudah menemukan jawabannya sekarang?.....*)

B. Poligon

Poligon atau segi-n adalah gabungan sebanyak n ruas garis yang tertentu oleh n buah titik yang berurutan secara siklis dan tidak ada tiga titik berurutan yang segaris, yang sepasang-sepasang hanya bertemu pada ujung-ujungnya. Setiap ruas garis tersebut disebut sisi segi-n, setiap sudut yang diapit oleh sepasang sisi segi-n yang bertemu disebut sudut pada segi-n, dan setiap n buah titik tersebut disebut titik sudut.

Pada suatu segi-n, pasangan sisi berdekatan adalah pasangan sisi yang mempunyai titik sudut sekutu, pasangan sudut berdekatan adalah pasangan titik sudut yang merupakan ujung-ujung suatu sisi, dengan kata lain pasangan sudut berdekatan adalah pasangan sudut yang titik-titik sudutnya saling berdekatan.

Contoh suatu segi-n, yaitu segi-6 (segi-6 tak beraturan)

Sedangkan titik sudutnya adalah A1, A2, A3, A4, A5, A5, dan A6.

Suatu segi-n dikatakan konveks, bila dan hanya bila untuk setiap sisi pada segi-n berlaku bahwa seluruh segi-n terletak pada satu bidang tertutup yang tertentu oleh garis pemuat sisi tersebut.

Segi-n yang dibahas adalah segi-n konveks, untuk selanjutnya cukup disebut ‘segi-n’ saja.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam segi-n:

1. Diagonal suatu segi-n adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak saling berdekatan.

2. Jumlah ukuran-ukuran sudut, dalam suatu segi-n adalah (n – 2) x 180º.

3. Banyak diagonal dalam suatu segi-n adalah 1/2 x n (n-3) .

4. Sudut luar suatu segi-n adalah sudut yang bersisian dengan satu sudut dalam segi-n.

5. Jumlah ukuran-ukuran sudut luar, suatu segi-n adalah 360º.

Suatu segi-n dikatakan segi-n beraturan, bila dan hanya bila segi-n tersebut konveks dan semua sisi maupun sudutnya saling kongruen. Sudut-sudut pusat suatu segi-n beraturan, saling kongruen.

Silahkan Anda buat pembuktiannya, untuk pernyataan no.1 - 5!

Sekarang coba Anda pikirkan, bagaimana dengan segi-n beraturan? Apakah 5 keterangan di atas juga berlaku?

Poligon terkecil adalah segitiga.

Segitiga

Segitiga adalah gabungan tiga ruas garis yang tidak segaris yang sepasang-sepasang saling dihubungkan. Atau dengan kata lain, segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi. Ketiga ruas garis tersebut disebut sisi-sisi segitiga. Sudut-sudut yang terbentuk oleh pasangan-pasangan sisi-sisi tersebut disebut sudut–sudut segitiga, dengan titik-titik sudutnya ketiga titik tersebut.

Perhatikan gambar segitiga berikut!

Silahkan Anda buktikan!

Sebuah titik dikatakan terletak pada interior (daerah dalam) suatu segitiga bila dan hanya bila titik tersebut terletak pada daerah dalam setiap sudut segitiga tersebut. Sebuah titik dikatakan terletak pada eksterior (daerah luar) suatu segitiga bila dan hanya bila titik tersebut sebidang dengan segitiga tersebut tetapi bukan merupakan bagian dari segitiga tersebut maupun interior-nya.

Berdasarkan unsur-unsur pembentuk segitiga, maka segitiga dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis, diantaranya:

Dari tabel di atas, maka kita peroleh ada 7 macam segitiga, yaitu:

1. Segitiga tumpul: segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.

a. Segitiga tumpul sama kaki: segitiga tumpul yang dua sisinya saling kongruen

b. Segitiga tumpul sembarang: segitiga tumpul yang ketiga sisinya tidak sama panjang

2. Segitiga lancip: segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip. Dari tabel di atas, terdiri tiga macam, yaitu:

a. Segitiga sama sisi: segitiga yang ketiga sisinya sepasang-sepasang saling kongruen.

b. Segitiga lancip sama kaki: segitiga lancip yang dua sisinya saling kongruen

c. Segitiga lancip sembarang: segitiga lancip dengan ketiga sisinya tidak sama panjang

3. Segitiga siku-siku: segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. Dari tabel di atas, terdiri dua macam, yaitu:

a. Segitiga siku-siku sama kaki: Segitiga siku-siku dua sisinya saling kongruen

b. Segitiga siku-siku sembarang: Segitiga siku-siku yang ketiga sisinya tidak sama panjang

Silahkan Anda uraikan sifat-sifat yang menyertai!

Dalam segitiga, ada yang kita kenal dengan garis tinggi, garis berat, dan garis bagi sudut. Seperti apa gambarnya? Garis tinggi dari sebuah segitiga adalah ruas garis tegak lurus yang menghubungkan sebuah titik sudut pada segitiga dengan sebuah titik pada garis yang memuat sisi dihadapan titik sudut tersebut. Sebuah ruas garis dikatakan sebagai garis berat (median) sebuah sisi suatu segitiga, bila dan hanya bila ujung-ujung ruas garis tersebut merupakan titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di hadapan titik sudut tersebut. Sebuah sinar garis yang berpangkal pada titik sudut sebuah segitiga dikatakan sebagai garis bagi sudut pada segitiga tersebut, bila dan hanya bila sinar garis tersebut sedemikian sehingga dua buah sudut yang terbentuk saling kongruen.

Sementara sebuah garis dikatakan sebagai sumbu suatu ruas garis, bila dan hanya bila garis tersebut merupakan garis bagi dan tegak lurus dengan ruas garis tersebut. Jika ruas garis yang dimaksud merupakan sisi sebuah segitiga, maka sumbu tersebut dinamakan sumbu pada segitiga.

Silahkan Anda buat representasi gambarnya!

Segiempat

Segiempat adalah gabungan empat buah ruas garis, dengan tiga titik diantaranya tidak segaris, yang sepasang-sepasang bertemu pada ujung-ujungnya dan di setiap ruas garis pasti bertemu dengan dua ruas garis lain yang berbeda. Ruas garis–ruas garis itu disebut dengan sisi segiempat, sudut-sudut yang terbentuk disebut sudut dalam segiempat, dengan titik-titik sudut yaitu keempat titik tersebut.

Perhatikan segiempat berikut!

Silahkan Anda buktikan!

Dalam suatu segiempat, pasangan sisi berhadapan adalah pasangan sisi yang tidak berpotongan. Pasangan sudut berhadapan adalah pasangan sudut yang tidak memiliki sisi sekutu. Pasangan sisi berdekatan adalah pasangan sisi yang memiliki titik sudut sekutu. Pasangan sudut berdekatan adalah pasangan sudut yang memiliki sisi sekutu. Sedangkan diagonal suatu segiempat adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut dari pasangan sudut berhadapan. Coba Anda gunakan definisi tersebut untuk segiempat ABCD di atas!

Jenis/macam segiempat yang mempunyai sifat-sifat istimewa, diantaranya adalah:

1. Jajar genjang/jajaran genjang adalah segiempat yang kedua pasangan sisi berhadapan saling sejajar. Dalam hal ini, yang termasuk jajar genjang adalah:

a. Persegi panjang: jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku.

b. Bujur sangkar/persegi: persegi panjang yang sepasang sisi yang berdekatan saling kongruen.

c. Belah ketupat: jajar genjang yang sepasang sisi yang berdekatan saling kongruen.

2. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisi yang berhadapan saling sejajar. Sisi-sisi yang sejajar tersebut disebut dengan alas. Trapesium ada beberapa macam, diantaranya:

a. Trapesium sama kaki: trapesium yang pasangan sisi yang tidak sejajar saling kongruen.

b. Trapesium siku-siku: trapesium yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku.

c. Trapesium sembarang

3. Layang-layang adalah segiempat yang salah satu diagonalnya berimpit dengan sumbu diagonal yang lain. Jika suatu layang-layang memiliki sepasang sudut yang berdekatan saling berpelurus, maka layang-layang tersebut merupakan suatu belah ketupat.

Berdasarkan definisi di atas, silahkan Anda buat gambar dari masing-masing segiempat tersebut, beserta sifat-sifat yang menyertai!

Lingkaran

Apa yang Anda ketahui tentang lingkaran? Banyak benda-benda di sekitar kita yang berbentuk lingkaran, seperti uang logam, Compact Disk (CD), atau pun benda lainnya. Lingkaran adalah himpunan titik-titik sebidang yang berjarak sama terhadap suatu titik, yaitu titik pusat lingkaran. Bagaimana dengan pernyataan, bahwa lingkaran adalah sebuah poligon dengan segi yang tak hingga banyak? Benarkah?

Perhatikan gambar berikut!

Daerah dalam (interior) suatu lingkaran adalah gabungan pusat lingkaran dan semua titik yang berjarak lebih kecil dari jari-jari lingkaran tersebut. Sedangkan daerah luar (eksterior) suatu lingkaran adalah komplemen dari gabungan lingkaran dan interior-nya, atau himpunan semua titik yang berjarak lebih besar dari jari-jari lingkaran tersebut.

Ruas garis yang ujung-ujungnya pada lingkaran disebut tali busur. Tali busur belum tentu diameter. Sebuah garis yang memotong suatu lingkaran tepat di satu titik disebut garis singgung lingkaran, sementara titik tersebut disebut titik singgung. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik singgungnya. Sebuah garis yang memotong suatu lingkaran tepat di dua titik disebut garis potong lingkaran.

Dengan memperhatikan definisi lingkaran di atas, kita dapat menguraikan sifat-sifat yang ada, yaitu sebagai berikut.

1. Sebarang garis yang sebidang dengan suatu lingkaran dan tegak lurus jari-jari lingkaran di ujung luar jari-jari tersebut merupakan garis singgung lingkaran tersebut.

2. Sebarang garis yang melalui pusat lingkaran dan tegak lurus terhadap tali busur, akan membagi dua sama tali busur tersebut.

3. Ruas garis (apotema) yang menghubungkan pusat lingkaran dan titik tengah suatu tali busur, akan tegak lurus dengan tali busur tersebut.

Silahkan Anda buat representasi (gambar) dari sifat-sifat yang terkait dengan lingkaran tersebut!

C. Simetri Lipat dan Simetri Putar

Simetri lipat

Simetri lipat adalah suatu bentuk bangun yang kongruen (sama besar dan sebangun) yang diperoleh dengan cara melipat suatu bangun datar yang berpusat pada garis sumbu bangun tersebut.

Contoh:

Suatu persegi memiliki simetri lipat tingkat 4 karena dapat membentuk bangun yang kongruen dari 4 garis sumbu di atas.

Contoh lain:

Segitiga sama sisi memiliki simetri lipat tingkat 3
Persegi panjang memiliki simetri lipat tingkat 2
Jajar genjang memiliki simetri lipat tingkat 0
Belah ketupat memiliki simetri lipat tingkat 2
Layang-layang memiliki simetri lipat tingkat 1
Lingkaran memiliki simetri lipat tingkat tak hingga
Trapesium memiliki simetri lipat tingkat 0
Trapesium siku-siku memiliki simetri lipat tingkat 0

Simetri putar

Simetri putar adalah posisi bangun datar yang jika diputar pada suatu titik pusat maka akan menempati bingkai bangun datar tersebut dengan tepat.

Contoh:

1. Persegi panjang ABCD diputar putaran berlawanan arah dengan jarum jam sebesar 180º

2. Persegi panjang diputar 1 putaran penuh berlawanan arah dengan jarum jam sebesar 360º

Dari keterangan di atas, dapat disimpulkan bahwa persegi panjang mempunyai simetri putar tingkat 2.

Contoh lain:

· Segitiga sama sisi memiliki simetri putar tingkat 3

· Jajar genjang memiliki simetri putar tingkat 2

· Belah ketupat memiliki simetri putar tingkat 2

· Lingkaran memiliki simetri putar tingkat tak hingga

· Trapesium sama kaki memiliki simetri putar tingkat 0

· Trapesium memiliki simetri putar tingkat 0

Ingat:

Bangun-bangun datar (poligon) yang hanya menempati bingkainya jika diputar satu putaran penuh (360º), maka poligon tersebut tidak memiliki simetri putar.