Bab 3
Bilangan Rasional

Bilangan Rasional

Jika pecahan tidak termasuk dalam bilangan bulat, maka ia dapat dikelompokkan ke dalam bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai,

Dan diberi simbol Q (Quotient).

Untuk selanjutnya, a disebut sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.

Bila kita mengatakan bilangan rasional, berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.

Jika kita perhatikan, tidak semua desimal adalah merupakan bilangan rasional. Bagaimana mengidentifikasikan hal ini? Dalam bilangan desimal, ada istilah yang kita kenal dengan desimal berhingga, desimal tak berhingga, ataupun desimal berulang tak berhingga. Yang seperti apa bentuknya?

Sebagai contoh,

0,1324242424... adalah termasuk bilangan rasional, kenapa? Buktikan!

Bukti,

Dengan demikian, terbukti bahwa 0,1324242424... dapat dinyatakan dalam bentuk

itu artinya bilangan desimal berulang tak berhingga tersebut merupakan bilangan rasional. Sementara,

0,132456210981097646... adalah termasuk bilangan irasional? Kenapa?

2. Bilangan Real

Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional adalah bilangan real, dan dinotasikan R. Dengan perluasan dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irrasional, dan bilangan real, maka himpunan titik-titik pada garis bilangan (grafik Cartesius) dapat dikorespondensikan satu-satu dengan setiap bilangan real, sehingga tidak terdapat tempat yang kosong.

Bilangan real dapat diilustrasikan dalam sebuah diagram Venn, sebagai berikut.

Artinya, bilangan rasional dan irasional saling berkomplemen untuk membentuk bilangan real.

Jika kita mendengar bilangan real, apakah ada bilangan yang unreal? Ada, yaitu bilangan imajiner, seperti halnya,

Bilangan imajiner ini banyak dipakai pada bilangan kompleks.

3. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks biasa digunakan dalam menyatakan sebuah vektor. Sebuah vektor mempunyai besaran dan arah. Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai penjumlahan, selisih, atau hasil kali antara bilangan real dengan bilangan imajiner. Contoh dari bilangan kompleks, seperti halnya:

Berikut ini akan dibuat rangkuman, keterkaitan antara:

Dari diagram Venn di atas, dapat dijelaskan bahwa,

artinya bahwa bilangan prima adalah himpunan bagian dari bilangan asli; bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan cacah; bilangan cacah adalah himpunan bagian dari bilangan bulat; bilangan bulat adalah himpunan bagian dari bilangan rasional; bilangan rasional adalah himpunan bagian dari bilangan real; dan bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks.

4. Operasi pada Bilangan

Operasi hitung pada sistem bilangan ada 4 (empat) macam, yaitu operasi tambah, operasi kurang, operasi kali, dan operasi bagi.

Yang menjadi dasar adalah operasi tambah. Pengurangan adalah operasi invers dari operasi tambah, perkalian adalah penjumlahan berulang, dan pembagian adalah operasi invers dari perkalian. Selanjutnya keempat operasi itu dikembangkan pula menjadi proses operasi perpangkatan dan operasi logaritma.

Sifat-sifat Bilangan pada Operasi Penjumlahan dan Perkalian