岡山可換代数表現セミナー（OSCAR）

2023年12月18日（月）

場所：岡山大学理学部２号館２階　第１代数セミナー室

アクセスマップ：https://www.okayama-u.ac.jp/tp/access/access_4.html

キャンパスマップ：https://www.okayama-u.ac.jp/tp/access/soumu-access_tsushima_all.html

プログラム：

14:00～15:00 柳川浩二（関西大学）

15:15～15:45 牟田優治（岡山大学）

講演内容：

柳川浩二（関西大学）

タイトル：q-変形有理数の組合せ論

アブストラクト：(小木曽岳義氏、宮本賢伍氏、任鑫氏、和久井道久氏との共同研究に基づく)

正整数 n の q-類似 1+q+…+q^{n-1}は古典的であるが、近年 Morier-Genoud と Ovsienkは、

有理数の q-類似を導入した。Jones多項式や三角圏の研究に応用されているが、本講演では

より基本的な性質を考える。

既約分数 r/s (s >0) のq-類似を R_{r/s}(q)/S_{r/s}(q) と記す。 「分母」は

S_{r/s}(1)= s なる正整数係数の単峠な多項式で、r を s で割った余り(と s)で決まる。

今回紹介する結果と予想は以下の通り。

定理 1.  r r' ≡ - 1 (mod s) ==> S_{r/s}(q)= S_{r'/s}(q)

定理 2.   S_{r/s}(q)が回文的 <==> r^2≡ 1 (mod s)

予想. s が素数なら S_{r/s}(q)は Q上既約。

予想は、計算機で 739 までの素数で確認している他、

命題： s が素数で S_{r/s}(q) が可約なら、一つを除いて全ての因子は7次以上。

が示される。証明には、当該多項式に q=-1, i (虚数単位), ω (1の3乗根)を代入した値を考える。

この観測は、有理結び目の Jones 多項式に i や ±ω を代入した値に再解釈を与える。

牟田優治（岡山大学）

タイトル: Multi-corona graphs and local cohomology of their residue rings by the edge ideals

アブストラクト: コロナグラフの一般化としてマルチコロナグラフを定義し、

このグラフに付随するエッジイデアルについて議論する。

このエッジイデアルによる商環の局所コホモロジー群のヒルベルト級数を解析したことで深さと正則性の公式を得た。

また、一般にはマルチコロナグラフは非混合ではなく、Cohen-Macaulayではないが、

Sequentially Cohen-Macaulayであることが分かった。

今回の講演では主に上記の2結果について紹介する。

この研究はM.R.Pournaki氏と寺井直樹氏との共同研究に基づくものである。

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