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第20回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR20)

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平成３０年６月１１日（月）

岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室

プログラム：

１１：１０ー１２：４０ 早坂 太 （岡山大）

１３：５０ー１５：２０ 毛利 出 （静岡大）

１５：４０ー１７：１０ 柳川 浩二 （関西大)

講演内容

１１：１０ー１２：４０ 早坂 太 （岡山大）

タイトル： 2次元正則局所環の整閉イデアルに付随する整閉加群の構成

アブストラクト： Zariskiによって展開された整閉イデアルの理論（の一部）は、Kodiyalamによって次のように拡張された。(1) 2次元正則局所環（剰余体無限）上の整閉な有限生成torsion-free加群の積および付随するFittingイデアルは整閉である。(2) simpleなFittingイデアルをもつ（自由直和因子をもたない）整閉加群は直既約である。本講演では、2次元正則局所環の正則巴系に関する整閉単項式イデアルを任意に与えたとき、それをFittingイデアルにもつ階数2の（非自明な）整閉加群の族を具体的に構成する。また、構成した整閉加群が直既約となるための十分条件について考察する。結果として、simpleでない整閉単項式イデアルをFittingイデアルにもつ階数2の直既約整閉加群の広いクラスを得る。これは、Kodiyalamの問い（上記主張(2)の逆は成り立つか）に否定的解答を与える加群のクラスである。

１３：５０ー１５：２０ 毛利 出 （静岡大）

Title: Noncommutative Matrix Factorizations

Abstract: This is a report on the joint work with Kenta Ueyama. Theory of matrix factorizations is useful to study hypersurfaces in commutative algebra. To study noncommutative hypersurfaces, which are very important in noncommutative algebraic geometry, we introduce a notion of noncommutative matrix factorization. First, we show that the category of noncommutative matrix factorization is invariant under the operation called twist, which explains why the period of a noncommutative matrix factorization can be arbitrary (which also explains why, in the commutative case, the period is 1 or 2). Then we show that the stable category of noncommutative matrix factorizations is equivalent to a certain full subcategory of the category of totally reflexive modules (this result is analogous to the famous result by Eisenbud for commutative hypersurfaces). By using this equivalence, we describe indecomposable noncommutative matrix factorizations over skew exterior algebras. In particular, we show that, for each natural number r, there exist infinitely many indecomposable matrix factorizations of rank r over a skew exterior algebra (which is not a noncommutative hypersurface). This is still a work in progress, so any comment on the talk will be highly appreciated.

１５：４０ー１７：１０ 柳川 浩二 （関西大)

タイトル： Specht ideal のCohen-Macaulay性 (その２)

アブストラクト：渡辺純三氏(東海大学)との共同研究。

昨年6月の本セミナーや昨年秋の可換環論シンポジウムで、n 変数多項式環において, n の分割 λ を型とするSpecht 多項式全体が生成するイデアル I^Sp_λについて発表した。

昨年までに分かっていたのは、以下のこと。

定理 1. I^Sp_λ がCMであるための必要条件は, 以下の何れかであること。

1) λ=(a,1,..,1)

2) λ=(a,b)

3) λ≂(a,a,1)

逆向きの主張であるが、λ=(a,1,..,1) や (n-2,2) の場合は、体によらずCM。λ= (n-3,3) の時は、CM性と標数≠２が同値。

なお、これら全ての場合で、I^Sp_λは被約である。

一方、Etingof-Gorsky-Losevの結果を認めれば、I^Sp_λ が被約であれば、標数0の時は、 定理１の「逆」が全ケースで成り立つ。

前置きが長くなったが、今回紹介させて頂く新結果は、定理２．b \le 4 のとき, λ=(a,b) のとき、I^Sp_λは被約。

とくに、標数0のときは、λ=(a,b), b \le 4の場合のCM性も言える。

証明は素朴かつ技巧的だが、大まかな流れを紹介したい。