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第１回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR1)
平成２６年５月１２日（月）
岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室 （交通案内)
１１：１５ー１２：４５ 藏野 和彦 （明治大）
Knorror's periodicity と Grothendieck 群、Cohen-Macaulay 錐について
１３：４５ー１５：１５ 吉野 雄二 （岡山大）
DG加群のweak liftingについて
１５：３０ー１７：００ 高橋 亮 （名古屋大）
安定圏の加群圏の特異圏
アブストラクト：
藏野和彦：
Knorror's periodicity によって、有限生成加群の Grothendieck 群や
Cohen-Macaulay 錐がどのように変わるかを考察する。
その結果を用いて、無限表現型であるが Cohen-Macaulay 錐が有限生成に
なる例を与える。(H.Dao との共同研究)
吉野雄二：
可換環上の加群のlifting, weak liftingについて、そのDG化を
考察する。S. Nassehとの現在進行中の共同研究。
高橋亮：
分解部分圏の安定圏の加群圏（Auslander圏）はAuslander-Reiten
や吉野らによって深く調べられている。この講演では、その特異圏を
Gorenstein環上で考察し、特に特異圏が自明になる環の特徴づけを
与える。講演内容は、名古屋大学M1の松井紘樹氏との共同研究に
基づく。
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第２回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR2)
平成２６年６月９日（月）
岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室
１１：１０ー１２：４０ 渡辺 敬一 （日本大）
Ideal Theory of Integrally closed ideals in 2-dimensional normal singularities
１３：５０ー１５：２０ 加藤 希理子 （大阪府立大）
捩れ対の一般化について
１５：４０ー１７：１０ 荒谷 督司 （岡山理科大）
Gorensteiness on the punctured spectrum
アブストラクト：
♦渡辺敬一：
Let (A,m) be a 2-dimensional normal local ring and X be a resolution of
singularities of Spec(A).
Then for given integrally closed m-primary ideal I of A, we can take a
resolution X of Spec(A) and a positive cycle Z on X such that I O_X = O_X(
-Z ) and I = H^0( X, O_X( -Z )). In this case, we will write I = I_Z.
We will investigate how ideal theory in A (resp. of I=I_Z) differs
according to p_g(A) := \ell_A( H^1(X, O_X))
(resp. \ell_A(H^1(X, O_X(-Z)))). In particular, we will define the class of
p_g-ideals and show that this class of ideals inherits good properties of
integrally closed ideals in rational singularities.
We will discuss about good ideals, Ulrich ideals and the (normal) Hilbert
coefficients of integrally closed ideals.
♦加藤希理子：
三角圏Tの部分圏U,Vが与えられたとき,
貼り合わせの圏U*Vが定義される．
本講演では, 「三角部分圏U,Vに対していつU*Vが三角圏になるか」を考察する．
良く知られている事実として,
Hom (U,V)=0のときはU*Vが三角圏になる.
特に，Uと直交圏U\perpの貼り合わせ U*U\perp がTに等しいときは,
T/UはU\perpと三角同値である（Bousfield局所化).
我々は，U*Vが三角圏になるための必要十分条件が,
適当なTの商圏Q(T)においてHom (Q(U), Q(V))=0であることを示した．
特に, T=U*Vとなる三角圏の組は, 商圏のBousfield局所化と一対一に対応する．
更に, T=U*V= V*Wとなる三角圏の3つ組，
T=U*V= V*W=W*Uとなる三角圏の3つ組に対しては，
商圏において, Bousfield局所化の高対称化である
ルコルマン,ルコルマン三角形と対応することも判った.
Peter Jorgensenとの共同研究．
♦荒谷督司：
与えられた Cohen-Macaulay 環がいつ punctured spectrum 上で Gorenstein 環になるかを考察する。
この研究は奈良高専の飯間圭一郎氏との共同研究に基づく。
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第3回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR3)
場所：岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室
日時：平成２６年７月７日（月）
プログラム：
１１：１０−１２：４０ 後藤四郎（明治大学）
１３：５０−１５：２０ 神田遼（名古屋大学）
１５：４０−１７：１０ 中嶋祐介（名古屋大学）
講演タイトルおよび内容：
後藤四郎（明治大学）
タイトル：ALMOST GORENSTEIN RINGS−TOWARDS A THEORY OF HIGHER DIMENSION−
アブストラクト：
My lecture is based on the recent works [GMP, GTT] jointly with N. Matsuoka, T.T. Phuong, R. Takahashi, and N. Taniguchi.
In [GMP] the speaker, N. Matsuoka, and T. T. Phuong gave an alternative
definition of one-dimensional almost Gorenstein local rings and developed a
basic theory, exploring several concrete examples. Almost Gorenstein rings were originally
introduced by V.Barucci and R. Froeberg in the case where the local rings are of dimension one
and analytically unramified. They developed in [BF] a very nice theory of almost Gorenstein rings
and gave many interesting results. Our paper [GMP] aimed at a generalized definition of almost Gorenstein ring,
which one can apply also to those rings that are analytically ramified. One of the purposes
of such an alternation was to go beyond a gap in the proof of [BF, Proposition 25] and solve in full generality
the problem of when the endomorphism algebra $m : m$ is a Gorenstein ring, where $m$ denotes
the maximal ideal in a given Cohen-Macaulay local ring of dimension one.
The present and a bit urgent purpose is to search for possible definition(s) of higher-dimensional almost
Gorenstein local/graded rings. I will give a few candidates in terms of embedding of the base Cohen-Macaulay rings
into their canonical modules. I shall confirm, with the proposed definitions, that almost all results of
one-dimensional case are safely extended to those of higher dimensional local/graded rings.
Examples will be explored and some open problems will be discussed too.
References：
[BF] V. Barucci and R. Froeberg, One-dimensional almost Gorenstein rings, J. Algebra, 188 (1997), 418-442.
[GMP] S. Goto, N. Matsuoka, and T. T. Phuong, Almost Gorenstein rings, Journal
of Algebra, 379 (2013), 355-381.
[GTT] S. Goto, R. Takahashi, and N. Taniguchi, Almost Gorenstein rings - towards a theory of higher dimension, Preprint (2014).
神田 遼（名古屋大学）
タイトル：Classifying subcategories of quasi-coherent sheaves on locally noetherian schemes
アブストラクト：A prelocalizing subcategory of a Grothendieck category is a full subcategory closed
under subobjects, quotient objects, and arbitrary direct sums.
We classify the prelocalizing subcategories of the category of quasi-coherent sheaves on a locally noetherian scheme.
The classification is given by using filters of subsheaves of the structure sheaf.
Moreover, we characterize in terms of filters when a prelocalizing subcategory is closed under extensions/arbitrary direct products.
中嶋祐介（名古屋大学）
タイトル：Conic divisorial ideals via dimer models
アブストラクト：最近の研究によりdimer modelを用いて３次元Gorenstein toric ringおよびその
non-commutative crepant resolution (=NCCR)が得られることが知られているが、
NCCR を構成する過程においてconic divisorial ideal と呼ばれる良い性質を持つdivisorial idealが
現れることがある。本講演では上記の対象をいくつかの例を交えて紹介する。
第4回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR4)
平成２６年１１月１０日（月）
岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室 （交通案内)
プログラム：
１１：１０－１２：４０ 高橋亮（名古屋大学）
１３：５０－１５：２０ 柳川浩二（関西大学）
１５：４０－１７：１０ 橋本光靖（岡山大学）
講演タイトルおよび内容：
高橋亮（名古屋大学）
タイトル：JacobianイデアルによるExt関手の零化
アブストラクト：
1994 年にCraig Hunekeが問うた「d次元の等標数完備局所環 のJacobianイデアルは有限生成加群上のd+1次Ext関手を零 化するか？」という質問とその周辺の話題について、 最近Srikanth Iyengarとの共同研究で得られた結果を報告 する。
柳川浩二（関西大学）
タイトル：単項式イデアルの Lyubeznik 数 ～ polarization と局所化
アブストラクト：
A. Banerjee と L. Núñez-Betancourt との共同研究。
Lyubeznik 数は、体を含む正則局所環のイデアル(厳密に は、
それによる剰余環)に関する不変量で、このイデアル を台とする
局所コホモロジーの Bass数として定義される。必ずし も容易な対象では
ないが、多項式環の単項式イデアルについては、
色々分かりつつある
(正標数の場合は、単項式イデアルの結果が、一般の イデアルに
拡張し易い傾向にあるようだ)。 今回発表するのは、 以下のこと。
(1) Lyubeznik 数と局所化 (単項式イデアル主体だが、一 般の場合にも触れる。)
(2) Lyubeznik 数 が polarization で保たれること。
橋本光靖（岡山大学）
タイトル「多重切断環から生じる概主束とその応用」
アブストラクト：正規代数多様体、より一般には局所 的に Krull であるスキーム上の有限個の因子から作ら れる
多重切断環から分裂したトーラス作用に関する概主束 が得られることを示し、その応用として、Elizondo- Kurano-Watanabe による
多重切断環の因子類群に関する一連の結果の一部を一 般化する。また、藏野和彦氏との共同研究で得られ た、標準加群に関する
結果を一般化する。以上の応用例として、トーリック 多様体の Cox 環を考え、トーリク多様体に関するいく つかの
おなじみの結果に、短い証明を与える。特に、Thomsen による Frobenius 押し出しに関する結果を少しだけ一般 化して再証明する。
OSCAR5 プログラム (pdf)
第5回岡山可換代数表現セミナー (OSCAR5)
平成２６年１２月８日（月）
岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室 （交通案内)
プログラム：
１１：１０－１２：４０ 伊山修（名古屋大学）
１３：５０－１５：２０ 神田遼（名古屋大学）
１５：４０－１７：１０ 吉野雄二（岡山大学）
講演タイトルおよび内容：
伊山修（名古屋大学）
Silting reduction and Calabi-Yau reduction of triangulated categories
三角圏の構成方法として, Verdier quotientを取る方法と, ideal商を取る方
法が良く知られています. 前者の代表例は, ホモトピー圏から導来圏を構成す
るもので, 後者の代表例は, Frobenius圏から安定圏を構成するものです. 数
年前に, 後者の別の例であるCalabi-Yau reductionと呼ばれる構成方法が, 吉
野雄二氏と講演者によって導入され, Calabi-Yau圏の団傾理論で重要な役割を
果たしました. この講演では, Dong Yang氏, 相原琢磨氏との共同研究に基づ
いて, Calabi-Yau reductionの傾理論における類似物である, silting
reductionを紹介します. 一例としてBuchweitzによる, Gorenstein環上の
Cohen-Macaulay加群の安定圏の, 特異導来圏としての実現が挙げられます. 時
間があれば, Amiot-Guo-Kellerの団圏の理論における, Calabi-Yau reduction
とsilting reductionの織り成す絶妙なハーモニーにも言及したいと
思います.
神田遼（名古屋大学）
Atom-molecule correspondence in Grothendieck categories
For a right noetherian ring, there exists a canonical surjective map from the set of isomorphism classes of indecomposable injective modules to the set of two-sided prime ideals. Moreover, Gabriel showed that this surjection has a canonical splitting. In this talk, we will construct these maps for a class of Grothendieck categories. The maps are realized as maps between two kinds of spectra of a Grothendieck category, the atom spectrum and the molecule spectrum. In this attempt, we will find some properties of a right noetherian ring.
吉野雄二（岡山大学）
Dependence of totally reflexivity conditions and an exactness criterion for unbounded chain complexes
可換ネーター環はその全商環が（０次元）Gorensteinとなるとき、generically Gore
nstein ringという。以下では、環$R$
はいつもgenerically Gorenstein ringとする。
（この仮定は外すことができない。）次の定理を示すことができる。
定理：$P$を有限生成射影的$R$加群からなる鎖複体とする。このとき、$P$が完全で
あるための必要十分条件は、その$R$双対$P^*= Hom _R (P, R)$が完全となることで
ある。
この定理の応用として、次のことが成立する。
（１）$M$が有限生成$R$加群で、$Ext_R^i(M, R)=0$ for all $i>0$とすると、$M$は
totally reflexiveである。
（２）さらに$R$がCohen-Macaulayのときには、とくに$Ext_R^i(M, R)$ for all $i>
0$から$M$がMCMであることが出る。
（３）[太刀川予想] $R$がCohen-Macaulayで正準加群$K$をもつとする。このとき，$
Ext_R^i(K, R)$ for all $i>0$ならば$R$はGoresntein環である。
講演では、上記の定理について概説する。
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第 6 回岡山可換代数表現セミナー（OSCAR 6）
場所：岡山大学理学部２号館４階 D-401 代数講究室
日時：平成 27 年 2 月 17 日（火）
pdf プログラム
プログラム：
１１：１０－１２：４０ 高木俊輔 （東京大学）
１３：５０－１５：２０ 三内顕義 （東京大学）
１５：４０－１７：１０ 山田紀美子（岡山理科大学）
講演タイトルおよび内容：
高木俊輔 （東京大学）
タイトル：深さとコホモロジー次元
アブストラクト：
S を体上本質的有限生成な n 次元正則局所環，I をそのイデアルとし，
S/I の深さとコホモロジー次元 cd(S, I) の関係について考察する．
Hartshorne-Lichtenbaumの消滅定理，Ogus, Peskine-Szpiroの第2消滅定理により，
S/I の深さが1以上であれば cd(S, I) \le n-1，
S/I の深さが2以上であれば cd(S, I) \le n-2 であることが知られている．
この講演では，S/I の深さが3以上であれば cd(S, I) \le n-3 であることを説明する．
本講演は Hailong Dao氏との共同研究に基づく．
三内顕義 （東京大学）
タイトル：Ordinary abelian varietyの特徴付けについて
アブストラクト：
F-split varietyなどに代表されるように、正標数の射影多様体上の構造層のフロベニウス押し出しの構造は多様体の大局的な構造に大きな制限を与える。今回 は"構造層のフロベニウス押し出しが直線束の直和と同型になる"という性質を考え、この性質が小平次元が非負という仮定のもとではordinary abelian varietyの特徴付けを与えるという定理を概説する。この結果はImperial college Londonの田中公さんとの共同研究である。
山田紀美子（岡山理科大学）
複素代数曲面Xの安定ベクトル束（連接層）のモジュライ空間は
高次元代数多様体ですが、その双有理幾何的な性質・小平次元などを求めよと言う
自然な問題があります。Xが楕円曲面の場合にこの問題を考えます。
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