Servicios en un hospital

En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo puede albergar un máximo de 1000 kilogramos de alimento. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de alimento al mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de cuidados requeridos por un conejo son 3 y por un pollo son 2 y que los beneficios que reportaría su venta ascienden a 500 y 300 pesos por cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo.

Variables:

X1=# de pollos a criarse.

X2=# de conejos a criarse.

Restricciones:

Maximizar Z = 500x1 + 300x2 (Función objetivo)

20x1 + 10x2 ≤ 1000 (para la disponibilidad del alimento)

3x1 + 2x2 ≤ 180 (para la disponibilidad de horas)

x1, x2 ≥ 0 (No negatividad)

Se muestra el modelo graficado para llevar la secuencia del método

Solución:

Para comenzar el modelo se escribe en su forma estándar:

Maximizar Z = 500x1 + 300x2

20x1 + 10x2 + x3 = 1000

3x1 + 2x2 + x4 = 180

Una solución inicial seria:

• Z=0
• x1=0
• x2=0
• x3=1000
• x4=180

el método tiene como solución inicial el origen entonces se parte de esto para desarrollar el método.

Las variables básicas serán x3 y x4 por tanto las no básicas serán x1, x2, por lo cual hay que despejar las restricciones para que queden en función a estas variables

Maximizar Z = 500x1 + 300x2

X3 = 1000 - 20x1 - 10x2

X4 = 180 - 3x1 -2x2

Para elegir a la variable de entrada revisamos la función objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente mas grande, en este caso elegimos a X1

Ahora tenemos que buscar a la variable de salida, para esos hacemos a X2=0 y lo substituimos en las restricciones despejadas, además igualamos a cero y tenemos:

0 = 1000 - 20x1 ----------------------> X1 = 50 cuando X3=0

0 = 180 - 3x1 ----------------------> X1 = 60 cuando X4=0

Elegimos a la variable de menor valor, que en este caso la variable de salida sera X3.

Obteniendo asi los valores de las variables substituyendo las variables básicas en el modelo:

Z = 25,000

x1 = 50

x2 = 0

x3 = 0

x4 = 0

Teniendo esta solucion se muestra en la grafica que de el punto en el Origen (O) se mueve hacia el punto B

Ahora tenemos que dejar el modelo en función de nuestras nuevas variables no básicas. Para eso despejamos a X1 de la ecuación de la variable que entrara a la base

X4 = 180 - 3x1 -2x2---------------------------> X1 = 60 - 2/3x2 - 1/3x4

Sustituimos esta nueva ecuación en la restricción y en la función objetivo

Max z = 3000 - 100/33x2 - 500/3x4

X3 = -200 + 10/3x2 + 20/3x4

X1 = 60 - 2/3x2 - 1/3x4

Para elegir a la variable de entrada revisamos la función objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente mas grande, en este caso elegimos a X1

Ahora tenemos que buscar a la variable de salida, para esos hacemos a X2=0 y lo substituimos en las restricciones despejadas, además igualamos a cero y tenemos:

0 = 1000 - 20x1 ----------------------> X1 = 50 cuando X3=0

0 = 180 - 3x1 ----------------------> X1 = 60 cuando X4=0