Producción de mesas

Una empresa produce dos tipos de mesas: una estilo colonial y otra estilo nórdico. Las utilidades que se obtienen de su venta son de $2 000 por la colonial y $2 200 por la nórdica. El gerente de producción quiere realizar la planeación de su producción semanal sabiendo que solamente cuenta con 450 horas para la construcción y 200 horas para barnizarlas. En el siguiente cuadro se indican las horas necesarias para realizar cada una de las tareas y la utilidad para ambas mesas.

Variables:

X1=# de unidades de mesas de estilo colonial a producir

X2=# de unidades de motor de estilo nórdico a producir

Restricciones:

Maximizar Z = 2,000x1+ 2,200X2 (Función objetivo)

6x1 + 8x2 ≤ 450 (Horas de Fabricación)

5x1 + 2x2 ≤ 200 (Horas de barnizado)

x1, x2 ≥ 0 (No negatividad)

Para tener una referencia de como trabaja el método se grafico tanto como restricciones como función objetivo

Solución:

Para comenzar el modelo se escribe en su forma estándar:

Maximizar Z = 2,000x1+ 2,200X2

6x1 + 8x2 +x3 = 450

5x1 + 2x2 + x4= 200

x1, x2 ≥ 0

Una solucion inicial seria:

• Z=0
• x1=0
• x2=0
• x3=450
• x4=200

debido que este método tiene como solución inicial el origen entonces se parte de esto para desarrollar el método.

Las variables básicas serán x3 y x4 por tanto las no básicas serán x1, x2, por lo cual hay que despejar las restricciones para que queden en función a estas variables

X3 = 450 - 8x2 -6x1

X4 = 200 - 2x2 - 5x1

Para elegir a la variable de entrada revisamos la función objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente mas grande, en este caso elegimos a X2

Ahora tenemos que buscar a la variable de salida, para esos hacemos a X1=0 y lo substituimos en las restricciones despejadas, además igualamos a cero y tenemos:

0 = 450 - 8x2 ---------------------> X2 = 56.25 cuando X3=0

0 = 200 - 2x2 ---------------------> X2 = 100 cuando X4=0

Elegimos a la variable de menor valor, que en este caso la variable de salida sera X3.

Obteniendo asi los valores de las variables substituyendo las variables básicas en el modelo:

Z = 123,750

x1 = 0

x2 = 56.25

x3 = 0

x4 = 87.5

En la grafica se muestra que de el punto en el Origen (O) se mueve hacia el punto A

Ahora tenemos que dejar el modelo en función de nuestras nuevas variables no básicas. Para eso despejamos a X2 de la ecuación de la variable que entrara a la base

X3 = 450 - 8x2 -6x1 -------------------------> X2 = 56.25 - 1/8x3 -6/8x1

Sustituimos esta nueva ecuación en la restricción y en la función objetivo

Max z = 123,750 + 350x1 - 275x3

X2 = 56.25 - 1/8x3 -6/8x1

X4 = 87.5 + 1/4x3 - 7/2x1

Para elegir a la variable de entrada revisamos de nueva cuenta la función objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente mas grande, en este caso elegimos a X1

Ahora tenemos que buscar a la nueva variable de salida, para esos hacemos a X3=0 y lo substituimos en las restricciones despejadas, además igualamos a cero y tenemos:

0 = 450/8 - 6/8x1 ---------------------> X1 = 75 cuando X2=0

0 = 87.5 - 7/2x1 -- ---------------------> X1 = 25 cuando X4=0

Elegimos a la variable de menor valor, que en este caso la variable de salida sera X4.

Obteniendo asi los valores de las variables substituyendo las variables básicas en el modelo:

x1 = 25

x2 = 37.5

x3 = 0

x4 = 0

Z = 132,500

Ahora tenemos que dejar el modelo en función de nuestras nuevas variables básicas. Para eso despejamos a X1 de la ecuación de la variable que entrara a la base

X4 = 87.5 + 1/4x3 - 7/2x1 ----------------------> X1 = 25 + 1/14x3 -2/7x4

Sustituimos esta nueva ecuación en la restricción y en la función objetivo

Max z = 132,500 - 250x3 - 100x4

X2 = 37.5 - 5/28x3 + 6/28x4

X1 = 25 + 1/14x3 -2/7x4