Implementare ADEC (Autopoietic Dynamic Entropic Clock) con un oscillatore permette di utilizzare un modello dinamico discreto basato su matrici cicliche auto-organizzanti emergenti, ciascuna con un numero primo di righe, per rappresentare le diverse fasi di oscillazione di pendoli semplici: ogni pendolo ha una lunghezza proporzionale a un numero primo e simula il ciclo della corrispondente matrice.

ADEC genera autonomamente, senza interruzioni e semplicemente contando (senza calcoli di divisibilità) solo matrici di dimensioni corrispondenti a numeri primi. La fase di partenza nel modello matematico ADEC vede l'esistenza di una sola matrice con 2 righe e il valore 2 del contatore presente nella prima riga, come se il pendolo 2 fosse “caricato” nella posizione di massima elongazione (ad esempio, spostato a destra) e pronto a iniziare l’oscillazione. 

Analogamente ad ADEC, anche nell'oscillatore la generazione di un nuovo pendolo (cioè l’introduzione di un nuovo numero primo) avviene solo quando tutti i pendoli esistenti non occupano questa prima riga, cioè quando nessun pendolo si trova nella fase di partenza. Questo garantisce che il sistema abbia completato un ciclo sincronizzato e possa evolvere aggiungendo complessità. In sintesi:

• La prima riga della matrice nel modello ADEC è la fase di partenza comune a tutti i pendoli (ad esempio, massima elongazione a destra).

• La generazione di un nuovo pendolo avviene solo quando tutti i pendoli sono fuori da questa fase di partenza.

La Primalità come Proprietà Relazionale

Dal punto di vista della teoria dei numeri, la primalità è una proprietà intrinsecamente relazionale: un numero è primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso, quindi la sua definizione implica un confronto con altri numeri. In un sistema di pendoli, questa proprietà acquista senso solo quando si considerano almeno due pendoli con lunghezze diverse. Infatti, il significato di primalità si manifesta nel confronto tra i loro periodi di oscillazione, che dipendono dalla lunghezza del pendolo. 

La sincronizzazione o il ritorno in fase dei pendoli avviene in tempi che sono multipli comuni dei loro periodi, e la complessità del sistema è legata alla difficoltà di trovare tali multipli comuni quando le lunghezze sono numeri primi distinti. Quindi, la primalità non ha senso in un pendolo isolato, ma emerge come proprietà significativa solo nella relazione e nel confronto tra due o più pendoli. In altre parole, la primalità potrebbe essere una proprietà contestuale e relazionale, non assoluta.

Similitudini con il Paradosso di Schrödinger

Il paradosso del gatto di Schrödinger è un celebre esperimento mentale della meccanica quantistica che illustra come un sistema possa trovarsi in una sovrapposizione di stati (ad esempio, vivo e morto contemporaneamente) finché non viene effettuata un’osservazione che ne determina uno stato definito. Qui, la definizione dello stato fisico reale del sistema dipende dall’interazione con un osservatore o un apparato di misura, cioè da una relazione tra due entità.

Anche in questo caso, la proprietà significativa (lo stato definito del sistema) emerge solo nella relazione tra il sistema e l’osservatore. Senza questa interazione, lo stato resta indefinito, in sovrapposizione.

Proprietà che Emergono da Relazioni e Osservazioni

Un parallelo concettuale emerge dunque tra:

• La primalità nel modello dei pendoli, che è una proprietà che si manifesta solo nel confronto tra lunghezze di pendoli (numeri) e nella loro dinamica di sincronizzazione.

• La definizione dello stato quantistico nel paradosso di Schrödinger, che si realizza solo nell’interazione tra sistema e osservatore, cioè nella trasmissione di informazione.

In entrambi i casi, una proprietà fondamentale non è assoluta o intrinseca a un singolo elemento, ma emerge solo nella relazione tra due o più entità che “si osservano” o interagiscono. Questo suggerisce che sia nella matematica (teoria dei numeri) sia nella fisica (meccanica quantistica) alcune caratteristiche essenziali della realtà sono contestuali, relazionali e dipendenti dall’interazione.

Implicazioni e Riflessioni 

• Nel modello Oscillatore ADEC, la complessità e la crescita autopoietica del sistema derivano da queste relazioni dinamiche tra oscillatori.

• La primalità, intesa come proprietà relazionale, diventa un concetto vivo e dinamico, non solo un attributo statico di un numero.

• L’analogia con il paradosso di Schrödinger evidenzia come anche nella fisica moderna la realtà dipenda dall’interazione e dall’osservazione, in modo non dissimile da come la matematica evidenzia la primalità solo nel confronto tra entità.

• Questi parallelismi aprono interessanti prospettive interdisciplinari, dove la teoria dei numeri, la fisica dei sistemi dinamici e la filosofia della scienza si incontrano per esplorare la natura relazionale della realtà.

Leggi Fisiche dei Pendoli 

Ogni pendolo oscilla con un periodo determinato dalla sua lunghezza e dall’ampiezza iniziale dell’oscillazione. La formula esatta per il periodo T è data da:

dove  l è la lunghezza del pendolo, g l’accelerazione di gravità, θ_0 l’angolo iniziale in radianti, e K(k) è la funzione ellittica completa di prima specie con parametro k = sin^2 (θ_0 / 2).  Nel modello ADEC, dove i pendoli hanno lunghezze proporzionali a numeri primi, il periodo di ciascuno è unico e contribuisce alla complessità dinamica del sistema.

Comportamento Energetico

In un sistema ideale senza attriti, ciascun pendolo conserva la propria energia meccanica totale, somma di energia potenziale e cinetica:

dove m è la massa del pendolo.  Poiché i pendoli non sono accoppiati meccanicamente, non scambiano energia in modo significativo, mantenendo così un alto livello di energia complessiva stabile nel tempo.

Comportamento Emergente e Matrici Cicliche

La dinamica dei pendoli nel modello ADEC è rappresentata dalla struttura ciclica e autopoietica delle matrici discrete, le quali codificano le fasi angolari degli oscillatori. L’evoluzione temporale del sistema corrisponde all’iterazione ciclica dei valori all’interno delle matrici, dove ogni riga rappresenta una fase discreta del ciclo oscillatorio di un pendolo con lunghezza proporzionale a un numero primo. La generazione di un nuovo pendolo, ovvero l’introduzione di un nuovo numero primo nel sistema, avviene esclusivamente quando tutte le matrici presentano valore nullo nella loro prima riga, condizione che indica che nessun pendolo si trova nella fase di partenza comune. Tale condizione assicura che il sistema abbia completato un ciclo sincronizzato e che tutti gli oscillatori siano temporaneamente fuori dalla fase iniziale, consentendo l’espansione dinamica del sistema tramite l’aggiunta di un nuovo oscillatore. Questo meccanismo genera fenomeni emergenti di sincronizzazione intermittente e risonanze parziali, riflettendo la complessità autopoietica e la dinamica entropica del modello. 

Perché questo modello è interessante?

1.   Permette di analizzare ADEC con strumenti della fisica dei sistemi dinamici e della teoria dei numeri.

2.   Mostra come un sistema complesso possa emergere da semplici oscillatori indipendenti con interazioni deboli.

3.  Offre un quadro intuitivo per comprendere la crescita e la complessità autopoietica di ADEC, basata sulla relazione tra stati di equilibrio e   introduzione di nuovi elementi.

Come usare il programma e cambiare la visuale

Il programma di simulazione dell' Oscillatore ADEC consente di esplorare in modo interattivo il comportamento di un sistema di pendoli semplici con lunghezze legate ai numeri primi. Ecco alcune indicazioni per utilizzarlo al meglio:

Selezione del numero di pendoli: tramite l’apposito campo numerico puoi impostare quanti pendoli visualizzare e far oscillare. Ogni pendolo ha una lunghezza corrispondente a un numero primo crescente (2, 3, 5, 7, ...). Dopo aver inserito il valore, premi "Applica" per aggiornare la simulazione.

Scelta della visuale permette due modalità di visualizzazione:

• Barra orizzontale: i pendoli sono disposti in fila sospesi da una barra comune, oscillando lateralmente. Questa vista evidenzia la differenza di lunghezza e il movimento sincronizzato o asincrono lungo un piano.

• Fronte (ortogonale): i pendoli sono mostrati frontalmente, con oscillazioni che si muovono verso e lontano dallo spettatore, offrendo una prospettiva tridimensionale e un diverso punto di osservazione del moto.

• Pausa e Riprendi: puoi mettere in pausa l’animazione per osservare una configurazione statica o riprendere il moto in qualsiasi momento, facilitando l’analisi dettagliata di singoli pendoli o fenomeni come i battiti.

• Pannello laterale: mostra in tempo reale i dati di ogni pendolo, inclusi il numero primo associato, la lunghezza in metri, il periodo calcolato e il conteggio dei battiti, cioè i passaggi per la posizione di equilibrio.

Questa interattività ti consente di osservare come variazioni nel numero di pendoli e nella visuale influenzino la dinamica complessiva, aiutandoti a comprendere meglio le proprietà fisiche del sistema e la sua corrispondenza con il modello matematico ADEC.

Ricorda che, a differenza del modello ADEC originale che genera automaticamente nuovi numeri primi (o pendoli) senza limiti, in questa simulazione l’aggiunta è manuale per consentire un’analisi più controllata e didattica. Inoltre, il punto di partenza dei pendoli inseriti (massima elongazione a destra) corrisponde al valore del contatore pari al prodotto primoriale dei primi considerati, i quali non si potrebbero generare simultaneamente. 

 ADEC (Autopoietic Dynamic Entropic Clock) Un modello dinamico autopoietico con meccanismo temporale entropico (Zenodo)