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Costanti
Costanti
In questo studio si analizza la precisione con cui numeri primi possono approssimare costanti matematiche e fisiche fondamentali tramite rapporti con prodotti primoriali. Utilizzando primoriali calcolati su insiemi crescenti di numeri primi, si individua per ciascuna costante un numero primo che minimizza l’errore relativo.
I dati sperimentali mostrano che l’errore assoluto segue una legge di potenza con un esponente prossimo a −1, suggerendo un modello di convergenza che appare universale per le costanti studiate. I risultati sono discussi in relazione alla distribuzione asintotica dei numeri primi e alle implicazioni per la teoria analitica dei numeri e la fisica matematica, indicando un legame profondo tra la struttura numerica dei primi e l’architettura fondamentale della realtà.
La costruzione mostra che, dato un reale adimensionale c, la combinazione di primoriali e la densità asintotica dei numeri primi consente di ottenere approssimazioni molto accurate. Questo fenomeno è puramente aritmetico e non implica alcuna determinazione fisica delle costanti, ma suggerisce una possibile analogia formale tra la crescita combinatoria dei primi e le scale fisiche.
Con pochi numeri primi è possibile ricavare valori approssimati di tutte le costanti fondamentali con errori minimi. Aumentando l’indice dei numeri primi considerati, si ottengono approssimazioni sempre più precise e con errori inferiori a soglie di tolleranza significative per applicazioni pratiche.
E’ necessario ricordare che con P_i numero primo molto grande crescente con i, si intende un numero primo molto più grande di p_i correlato al valore della costante c ma condizionato dall’incremento del numero di indice i :
P_i > p_i | P_i / p_i# ≈ c
Man mano che il numero di indice i tende a infinito, cioè considerando il primo P_i e prodotti primoriali p_i# sempre più grandi, l’errore assoluto nelle approssimazioni delle costanti fondamentali tende a zero:
lim i → ∞ Errore = 0
Dato un primoriale p_i# e un reale c, definiamo P_i come il primo più vicino a (c ⋅ p_i#). Allora il rapporto P_i / p_i# converge a c per i → ∞ come conseguenza della densità asintotica dei numeri primi. La convergenza vale per qualunque reale c e non distingue costanti matematiche particolari; essa riflette esclusivamente la crescita del primoriale e la distribuzione asintotica dei numeri primi.
Costanti matematiche
Costanti matematiche
Costanti fisiche
Costanti fisiche
Errore assoluto in funzione del numero di primi nel primoriale per le costanti matematiche, in scala log-log. La linea rossa rappresenta il fit a legge di potenza.
Costante: pi
Errore assoluto in funzione del numero di primi nel primoriale per le costanti fisiche fondamentali, in scala log-log, con fit a legge di potenza.
Prodotto Primoriale (prodotto dei numeri primi da 2 a 743= p_132): 2903775511555279803023174864166140404845228761969778627101141839318630354131913148718157825308298335287985368473982611555148661663333023178291402119421484553385515765831512441803996425951513086447100980862026122164262081616021130587497853802885830115639327460909636718944783285770656342604598491113326147439710
Costante: pi - Primo P_i trovato: 9122479814776010795265600759969764029528001350508599999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995613 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.278e+307 Rapporto P_i / p_132#: 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 Errore: 0.000E-47
Costante: (Euler) e - Primo P_i trovato: 7893280206985085419148648265232750613114598219301899999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996727 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.106e+307 Rapporto P_i / p_132#: 2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 Errore: 5.000E-50
Costante: phi - Primo P_i trovato: 4698407473396055758599385112991188232273003901882499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995181 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 6.589e+306 Rapporto P_i / p_132#: 1.6180339887498948482045868343656381177203091798058 Errore: 0.000E-46
Costante: gamma (Euler-Mascheroni) - Primo P_i trovato: 1676104712627169547699380490170978086890998610654899999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995107 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 2.354e+306 Rapporto P_i / p_132#: 0.57721566490153286060651209008240243104215933593991 Errore: 1.000E-50
Costante: sqrt(2) - Primo P_i trovato: 4106558710528348676332928251213741218906181266560199999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995959 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 5.760e+306 Rapporto P_i / p_132#: 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 Errore: 0.000E-46
Costante: Brun - Primo P_i trovato: 5523447320263106920048436561647621627213534968740699999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995201 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 7.745e+306 Rapporto P_i / p_132#: 1.9021605831040000000000000000000000000000000000000 Errore: 0.000E-46
Costante: Catalan - Primo P_i trovato: 2659758461798989964709829511761035064710035810941799999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995423 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 3.733e+306 Rapporto P_i / p_132#: 0.91596559417721901505460351399999999999999999999998 Errore: 2.000E-50
Costante: Gauss-Kuzmin-Wirsing - Primo P_i trovato: 881769191582679837671372286128366803359621830884229999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996063 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.240e+306 Rapporto P_i / p_132#: 0.30366300289873265800000000000000000000000000000000 Errore: 0.000E-47
Nell'immagine l'errore per ogni costante matematica, in funzione del numero di primi (considerati 100 - 200 - 300 - 400 - 500 primi) nel prodotto primoriale, in scala log-log. La linea rossa rappresenta il fit a legge di potenza.
Prodotto Primoriale (prodotto dei numeri primi da 2 a 647 = p_118): 454041675752973932711167425092208649474737657814960006214906116587054013303685931877256048544115832853348322994760271073378396383064407655769219945341235676611058334622663841415946648666971318902516884790903117780723654523767129853608938839173833568771051634391242066130
Costante: Speed of Light (c) [m/s] - Primo P_i trovato: 136118270008423056097407486417924107674892011341509999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995219 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 2.125e+275 Rapporto P_i / p_118#: 299792458.00000000000000000000000000000000000000000 Errore: 0.000E-38
Costante: Planck Constant (h) [J·s] - Primo P_i trovato: 300851199456275934926557504705584472985637237352859999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995247 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 5.525e+233 Rapporto P_i / p_118#: 6.6260701500000000000000000000000000000000000000000E-34 Errore: 0.000E-80
Costante: Elementary Charge (e) [C] - Primo P_i trovato: 72745496375361919100092071934468199364112104863101999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995121 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.259e+248 Rapporto P_i / p_118#: 1.6021766340000000000000000000000000000000000000000E-19 Errore: 0.000E-65
Costante: Gravitational Constant (G) [m^3·kg^-1·s^-2] - Primo P_i trovato: 30304103564780739190941447452929281891892415495543999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995627 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 5.072e+256 Rapporto P_i / p_118#: 6.6743000000000000000000000000000000000000000000000E-11 Errore: 0.000E-57
Costante: Avogadro Constant (N_A) [mol^-1] - Primo P_i trovato: 273430288229068801139741865783203646642637023943439999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996671 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 4.047e+290 Rapporto P_i / p_118#: 602214076000000000000000.00000000000000000000000000 Errore: 0.000E-23
Costante: Boltzmann Constant (k) [J/K] - Primo P_i trovato: 6268721855866677072237405942861327796886470725245699999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995579 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.103e+244 Rapporto P_i / p_118#: 1.3806490000000000000000000000000000000000000000000E-23 Errore: 0.000E-69
Costante: Fine-structure Constant (α) - Primo P_i trovato: 3313302189125241839985762924299094077656159942699499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995651 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 5.379e+264 Rapporto P_i / p_118#: 0.0072973525693000000000000000000000000000000000000001 Errore: 1.000E-52
Costante: Electron Mass (m_e) [kg] - Primo P_i trovato: 413603977665899136374765477054249695561497785541249999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996809 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 7.496e+236 Rapporto P_i / p_118#: 9.1093835600000000000000000000000000000000000000000E-31 Errore: 0.000E-77
Costante: Proton Mass (m_p) [kg] - Primo P_i trovato: 759440049469039838475877144353502856296452404266529999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995309 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.358e+240 Rapporto P_i / p_118#: 1.6726218980000000000000000000000000000000000000000E-27 Errore: 0.000E-73
Costante: Neutron Mass (m_n) [kg] - Primo P_i trovato: 760486875697530649844839828767274975069047823592469999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995087 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 1.360e+240 Rapporto P_i / p_118#: 1.6749274710000000000000000000000000000000000000000E-27 Errore: 0.000E-73
Costante: Vacuum Permittivity (ε_0) [F/m] - Primo P_i trovato: 4020170271955271058367305877711790740413969291302399999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995723 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 6.751e+255 Rapporto P_i / p_118#: 8.8541878127999999999999999999999999999999999999999E-12 Errore: 1.000E-61
Costante: Vacuum Permeability (μ_0) [N/A^2] - Primo P_i trovato: 570565597498258801655103999583318247377987211474319999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996179 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 9.395e+260 Rapporto P_i / p_118#: 0.0000012566370621200000000000000000000000000000000000000 Errore: 0.000E-52
Costante: Stefan-Boltzmann Constant (σ) [W·m^-2·K^-4] - Primo P_i trovato: 25745863033495559512192310828689586421920902016098999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995479 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 4.261e+259 Rapporto P_i / p_118#: 5.6703744189999999999999999999999999999999999999999E-8 Errore: 1.000E-57
Costante: Rydberg Constant (R_∞) [m^-1] - Primo P_i trovato: 4982531470470676883394121628101432155598328637998399999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996953 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 7.820e+273 Rapporto P_i / p_118#: 10973731.568160000000000000000000000000000000000000 Errore: 0.000E-39
Costante: Bohr Radius (a_0) [m] - Primo P_i trovato: 24026850760868302811975877509136315072517404972013999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995169 Indice approssimato del primo P_i nell’insieme dei primi: 4.023e+256 Rapporto P_i / p_118#: 5.2917721090299999999999999999999999999999999999999E-11 Errore: 1.000E-60
Nell'immagine l'errore per ogni costante fisica, in funzione del numero di primi (considerati 100 - 200 - 300 - 400 - 500 primi) nel prodotto primoriale, in scala log-log. La linea rossa rappresenta il fit a legge di potenza.
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