Dans ce chapitre on dresse la liste des premiers axiomes de la théorie des ensembles et on examine quelques-unes de leurs conséquences. On développe en particulier une théorie des ensembles finis qui colle à première vue avec la réalité ambiante, et on définit la notion d'ordinal, qui est absolument fondamentale pour l'étude de la théorie générale des ensembles.

A la section 1 on précise quel est le cadre le plus approprié pour faire de la théorie des ensembles, en l'occurrence celui de la logique du premier ordre. Toutefois, les restrictions qu'on s'est imposées au Chapitre 3 vont nous obliger à envisager une notion un peu spécifique, celle d'ensemble pur. On va développer notre axiomatique dans le monde des ensembles purs, en espérant que cet univers va être suffisamment vaste pour nous permettre d'y retrouver la plupart des objets mathématiques usuels. On termine cette introduction par un bref historique de la théorie moderne des ensembles : constitution de l'axiomatique de Zermelo, puis de celle de Zermelo-Fraenkel.

A la section 2 on énonce les axiomes de base de la théorie des ensembles, qui constituent le système Z fini : schéma de compréhension, axiomes d'extensionnalité, de l'ensemble vide, de la paire, de la réunion et de l'ensemble des parties¹. On montre au passage comment la restriction du schéma de compréhension qui a été décidée au Chapitre 3 permet en un certain sens de résoudre le paradoxe de Russel : il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles. Ce résultat nous amène à considérer la notion de collection, ou classe définissable.

Dans la section 3 on montre que la plupart des objets mathématiques usuels ont une description, ou au moins une contrepartie, ou copie, dans le monde des ensembles purs. Il en est ainsi, par exemple, des notions de couple, p-uplet, produit cartésien, réunion, intersection, relation d'équivalence, relation d'ordre, magma, groupe, anneau, corps, espace vectoriel.

La section 4 est consacrée à la notion fondamentale de bon ordre, ou ensemble bien ordonné. On en donne quelques exemples simples, puis on démontre les lemmes de rigidité du bon ordre. On explique pourquoi ces résultats vont nous inciter tout naturellement à essayer de hiérarchiser les bons ordres : on va définir un invariant, ou représentant canonique, pour chaque classe d'équivalence de bons ordres.

A la section 5 on découvre la notion d'ordinal. Suite à une idée de von Neumann, on définit un ensemble transitif comme étant un ensemble dont tout élément est aussi une partie. Ceux des ensembles transitifs qui sont bien ordonnés par la relation d'appartenance sont appelés ordinaux. On étudie quelques propriétés élémentaires des ordinaux, puis on montre que la collection des ordinaux ne constitue pas un ensemble. On s'intéresse pour finir aux ordinaux finis, appelés aussi entiers naturels, dont on constate qu'ils ont des propriétés très voisines de celles des entiers intuitifs. Mais, en l'absence d'un axiome supplémentaire, rien ne nous garantit l'existence d'un ensemble de tous les ordinaux finis.

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Si le Chapitre 5 consistait essentiellement en une théorie des ensembles finis, celui-ci va nous apporter un premier contact formel avec la notion d'ensemble infini, qui est la raison essentielle pour laquelle on s'est sentis obligés de développer une théorie axiomatisée. L'objectif de ce chapitre est double :

• Introduire un axiome supplémentaire qui affirme l'existence d'au moins un ensemble infini, et montrer que cet axiome permet de construire, à l'intérieur de ZF, un nouvel ensemble qui servira de pendant naturel à l'ensemble des entiers intuitifs, et qu'on appellera indifféremment ℕ ou ω .

• Amorcer la démarche qui va consister, dans le chapitre suivant, à construire, à l'intérieur de l'univers, les ensembles de nombres usuels ℤ, ℚ, ℝ, ℂ etc, et montrer que la plupart des objets mathématiques usuels admettent une copie dans le monde des ensembles purs.

A la section 1 on énonce l'axiome de l'infini, dont on donne quelques conséquences immédiates, la plus importante étant l'existence d'un ensemble particulier qu'on appelle ω et qui joue un rôle fondamental en théorie des ensembles. On montre en particulier qu'il est possible d'effectuer des récurrences sur ω , puis que ω est égal à l'ensemble de tous les entiers naturels et que c'est le plus petit des ordinaux infinis.

La section 2 est consacrée à une étude arithmétique de l'ensemble ω. On se sert de nos connaissances sur les ordinaux pour définir les opérations usuelles sur ω , puis on donne une méthode alternative basée sur le principe de la récursion. On montre que la structure ⟨ω, 0, S, +, ×⟩ est modèle de l'arithmétique de Peano, ce qui prouve au passage que ZF démontre la consistance de Peano.

Dans la section 3 on examine un certain nombre de conséquences de l'axiomatique de Peano, ce qui permet de retrouver les principales propriétés de ℕ. A la section 4 on discute du statut un peu particulier du principe de récurrence traditionnel, et on montre qu'il est équivalent, en un certain sens, au fait que ℕ est bien ordonné. On profite alors de l'occasion pour évoquer la question délicate de la standardicité ou de la non-standardicité du modèle ⟨ω, 0, S, +, ×, ≤⟩.

A la section 5 on s'intéresse à la notion de divisibilité dans l'ensemble ℕ, et on définit les nombres premiers. On montre l'existence d'une infinité de nombres premiers, puis l'existence de la décomposition en facteurs premiers pour n'importe quel entier naturel. Enfin, un peu d'arithmétique élémentaire nous amène à l'unicité de ladite décomposition.

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Dans ce chapitre on montre que les ensembles de nombres usuels ℤ, ⅅ, ℚ, ℝ, ℂ admettent une contrepartie naturelle dans le monde des ensembles purs.

A la section 1 on construit ℤ à partir de ℕ par la méthode dite de symétrisation d'un demi-groupe. On montre que la structure ⟨ℤ, 0, 1, +,×⟩ constitue un anneau commutatif unitaire et intègre, puis on développe un minimum d'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs.

La section 2 est consacrée au corps des nombres rationnels. On construit ℚ comme étant le corps des fractions de l'anneau ℤ, puis on fait l'inventaire des principales propriétés de ℚ. On montre en particulier que ℚ est un corps commutatif totalement ordonné, archimédien, ne possédant pas la propriété de la borne supérieure, et dans lequel il existe des suites de Cauchy non convergentes.

La section 3 consiste en une étude approfondie du corps ℝ des nombres réels. On construit ℝ par la méthode des sections commençantes due à Dedekind, ce qui permet d'en faire un corps commutatif totalement ordonné, archimédien et possédant la propriété de la borne supérieure. On en déduit alors les principales propriétés de ℝ. En particulier ℝ est complet au sens où toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente. On donne pour mémoire la construction alternative de ℝ par la méthode des suites de Cauchy, mise au point par Cantor en 1872.

A la section 4 on fait une rapide intrusion dans le monde des nombres complexes. On construit ℂ comme corps de rupture du polynôme (X² +1) , et on le munit d'une structure d'espace vectoriel de dimension 2 sur ℝ. On donne quelques propriétés élémentaires de ℂ, puis on énonce le théorème de d'Alembert-Gauss : ℂ est algébriquement clos, au sens où tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ. Au passage on dit un mot des autres ensembles de nombres classiques : corps ℍ des quaternions, algèbre 𝕆 des octonions (ou octaves de Cayley), algèbre 𝕊 des sédénions, et on explique rapidement pourquoi la plupart des objets mathématiques usuels admettent une contrepartie dans le monde des ensembles purs.

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Comme on a pu le constater à la lecture des précédents chapitres, les axiomes du système Z* suffisent pour reformaliser une grande partie des mathématiques dans le monde des ensembles purs. Toutefois, ils vont s'avérer insuffisants pour pouvoir progresser dans le domaine spécifique de la théorie des ensembles. 

A la section 1, on commence par montrer les lacunes du système Z*, et on explique pourquoi, en 1926, Abraham Fraenkel a vu la nécessité d'imposer un nouveau schéma d'axiomes à la théorie naissante. On énonce alors formellement le schéma de remplacement, puis on examine quelques-unes de ses conséquences immédiates : redondance des axiomes de l'ensemble vide, de la paire et du schéma de compréhension, existence de familles d'ensembles, existence du sup d'une famille d'ordinaux, notion de type d'ordre, ordinaux non dénombrables, unicité à isomorphisme près d'une collection bien ordonnée.

La section 2 est consacrée à une description rapide des opérations sur les ordinaux : on y définit de manière directe la somme, le produit et l'exponentiation ordinale.

A la section 3 on montre que, de même qu'on a le droit d'effectuer des démonstrations par récurrence transfinie, il est licite de donner des définitions par récursion ordinale, et même par récursion ordinale généralisée sur les classes. On démontre le théorème de récursion dans le cas le plus général, et on explique comment il permet de donner des définitions plus simples, par induction transfinie, des opérations ordinales.

Enfin, la section 4 est consacrée à un rapide survol de la topologie sur les ordinaux : on y dégage en particulier la notion de suite normale, et on démontre le théorème du point fixe.

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Ce chapitre constitue un premier contact avec la notion moderne de cardinal.

La section 1 est consacrée à quelques préliminaires. On rappelle l'énoncé du théorème de Cantor-Bernstein, dont on donne une troisième démonstration, davantage dans l'air du temps de la théorie des ensembles modernes. On démontre ensuite le théorème de Cantor, qui dit que pour tout ensemble a , il n'existe pas de bijection de a sur 𝓟(a) . On explique ensuite l'insatisfaisance de la notion de classe cardinale, et on décide de choisir de préférence un représentant canonique dans chaque classe, comme on l'a fait au Chapitre 5 pour les ordinaux.

A la section 2 on définit un cardinal comme étant un ordinal initial, c'est-à-dire un ordinal qui ne peut pas être mis en bijection avec un ordinal plus petit. On montre que tout ordinal fini est un cardinal, ce qui revient à dire que les cardinaux finis se comportent comme les entiers naturels. Il est donc possible de développer la combinatoire finie dans le monde de ZF. On s'intéresse ensuite aux cardinaux infinis, sur lesquels on définit la hiérarchie des alephs. On définit et on construit la clôture transitive de n'importe quel ensemble, ce qui nous permet de démontrer, sans trop de surprises, que la classe de tous les cardinaux ne constitue pas un ensemble.

La section 3 est consacrée à la notion de cardinalité d'un ensemble. Pour l'instant on ne sait la définir que dans le cas des ensembles bien ordonnables. Cela pose un certain nombre de problèmes, en particulier on ne sait pas si ℝ possède ou non une cardinalité. Dans une tentative de comparer ℝ avec ℵ₁ , on construit facilement une surjection de ℝ sur ω₁ mais, en l'absence d'un axiome supplémentaire, rien ne nous garantit l'existence d'une injection de ω₁ dans ℝ.

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Ce long chapitre constitue un premier contact avec l'axiome du choix.

A la section 1 on en rappelle les principes fondateurs : en 1904, Ernst Zermelo était à la recherche d'un axiome trivial permettant de justifier l'existence d'un bon ordre sur tout ensemble. On en profite pour ouvrir une parenthèse historique dans laquelle on détaille l'axiomatique originelle telle qu'elle fut exposée par Zermelo en 1908.

A la section 2 on donne 4 variantes de l'axiome du choix AC (dont celle formulée initialement par Zermelo) dont on montre qu'elles sont équivalentes entre elles.

La section 3 est consacrée à deux variantes affaiblies de AC, à savoir l'axiome du choix dénombrable ACω , et l'axiome du choix dépendant ACD. On montre que AC⇒ACD⇒ACω , et on signale qu'il faudra travailler davantage pour montrer que les réciproques sont fausses.

A la section 4 on donne quelques conséquences immédiates de ACω , ACD et AC.

A la section 5 on donne deux formulations équivalentes de l'axiome du choix : le lemme de Zorn (tout ensemble ordonné, non vide et inductif possède un élément maximal) et le théorème de Zermelo (tout ensemble peut être bien ordonné). On donne deux démonstrations, philosophiquement très différentes, du fait que AC⇒(Zorn) , puis on montre que (Zorn)⇒(Zermelo) et que (Zermelo)⇒AC .

La section 6 est consacrée aux applications classiques de l'axiome du choix :

• Existence de bases dans un espace vectoriel de dimension quelconque, exemple des bases de Hamel.

• Existence d'idéaux maximaux, théorème de Steinitz : tout corps admet une clôture algébtique.

• 𝕂 étant un corps commutatif et 𝕃 une extension de 𝕂, existence d'une base de transcendance de 𝕃 sur 𝕂, cas particulier des bases de transcendance de ℂ sur ℚ.

• Le théorème de Hahn-Banach.

• Existence d'ultrafiltres.

• Influence de AC sur la hiérarchie des cardinaux infinis.

A la section 7 on montre (propriété assez méconnue) que l'axiome du choix est équivalent à la propriété suivante : de deux ensembles A et B , il y en a toujours au moins un qui peut s'injecter dans l'autre.

Enfin, on termine à la section 8 par une discussion philosophique autour de l'opportunité d'incorporer ou non l'axiome du choix à la liste des préceptes fondamentaux de notre théorie fondatrice. En tout état de cause on note ZFC* la théorie ZF* augmentée de l'axiome du choix.

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Dans ce chapitre on découvre la notion de filtre sur un ensemble, et on examine les conséquences de AC en termes d'ultrafiltres et de compacité.

A la section 1 on explique les motivations qui ont conduit, dans une tentative d'unification de la notion de limite, à la définition des filtres.

La section 2 est un exposé assez exhaustif concernant les généralités sur les filtres. Après avoir donné la définition générale on examine les deux exemples les plus canoniques de filtres : le filtre de Fréchet sur un ensemble infini, et le filtre des voisinages d'un point dans un espace topologique. On donne ensuite la définition d'une base de filtre, agrémentée là encore de quelques exemples. Puis on découvre la notion de filtre image, qui permet de donner une définition générale des limites avec filtres ou bases de filtre. On termine par la notion de finesse, qui n'est autre que l'inclusion inverse : un filtre 𝓕 est plus fin qu'un filtre 𝓖 si 𝓕⊇𝓖.

La section 3 est consacrée à l'étude des ultrafiltres. Un ultrafiltre sur un ensemble X est un filtre qui est maximal pour la finesse. On donne l'exemple (trivial) des ultrafiltres principaux, puis on explique qu'on ne sait pas exhiber un ultrafiltre non principal. Les ultrafiltres admettent une caractérisation fort utile : 𝓤 étant un filtre sur X, c'est un ultrafiltre ssi, pour toute partie A de X , on a soit A∈𝓤 , soit (X-A)∈𝓤. On montre alors, sous AC, que pour tout filtre 𝓕 il existe un ultrafiltre 𝓤 plus fin que 𝓕. Ce résultat fondamental nous permet de donner quelques propriétés des ultrafiltres : passage à l'image, tout ultrafiltre non principal est plus fin que le filtre de Fréchet, tout filtre est égal à l'intersection des ultrafiltres qui le contiennent. On termine par des remarques philosophiques sur la notion d'ultrafiltre.

A la section 4 on fait le lien entre les filtres et la notion de compacité. Après quelques rappels de topologie générale, on explique ce qu'est la convergence d'un filtre, et la notion de point adhérent à un filtre. On peut alors caractériser les compacts sous AC : un espace topologique séparé est compact ssi tout filtre admet un point adhérent, ssi tout ultrafiltre est convergent. Puis on démontre le théorème de Tychonoff, qui dit que tout produit cartésien (fini ou infini) de compacts est compact.

Enfin, à la section 5 on explique brièvement à quoi va nous servir la notion d'ultrafiltre, à la fois en théorie des ensembles et en théorie des modèles.

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Ce chapitre est la suite logique du Chapitre 9, dans lequel on avait constaté qu'on pouvait faire assez peu de choses avec la notion de cardinal en l'absence d'un axiome supplémentaire, dans la mesure où seuls les ensembles bien ordonnables possédaient une cardinalité. Nous revenons maintenant mieux armés, avec AC, pour étudier la question.

La section 1 est consacrée à quelques préliminaires : on explique pourquoi on a décidé de travailler dorénavant dans le système ZFC*, puis on rappelle quelques conséquences immédiates de AC : comparabilité de la taille de deux ensembles, existence d'une cardinalité pour tout ensemble.

A la section 2 on découvre la hiérarchie des cardinaux infinis, AC nous garantissant que tout cardinal est un aleph. On définit la notion de cardinal successeur et de cardinal limite. Se pose alors le problème de la cardinalité de ℝ. On définit les énoncés HC (hypothèse du continu) et HGC (hypothèse généralisée du continu), puis on présente la hiérarchie des ℶα (beth alpha), ce qui permet de donner une nouvelle formulation de HGC : ∀α, ON(α)⇒ℶα=ℵα .

La section 3 consiste en une étude simplifiée de l'arithmétique cardinale. On commence par définir les opérations élémentaires : addition et multiplication cardinales. On constate que sous AC ces deux opérations sont triviales dans le cas d'une somme ou d'un produit d'un nombre fini de cardinaux. Ces définitions peuvent être étendues au cas d'une infinité de cardinaux. Là encore l'addition est une opération triviale, mais il en va tout autrement de la multiplication cardinale étendue, sur laquelle on a peu d'informations en l'absence d'hypothèses supplémentaires. On démontre le seul vrai résultat significatif, à savoir le théorème de König. On définit ensuite l'exponentiation cardinale, sur laquelle, là encore, on sait fort peu de choses.

La section 4 est consacrée à la notion de cofinalité, qui est absolument indispensable pour faire une théorie des ensembles élaborée. Si κ est un cardinal, la cofinalité de κ est le plus petit cardinal λ tel qu'il existe une application cofinale (c'est-à-dire non bornée) de λ dans κ. Un cardinal est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité, et singulier dans le cas contraire. On montre sous AC que tous les cardinaux successeurs sont réguliers, puis le théorème de König nous permet d'affirmer que le continu ne peut pas être de cofinalité dénombrable. Tous les cardinaux limites qu'on connaît sont singuliers, mais on ne sait pas s'il existe ou non un cardinal limite régulier. S'il existe, un tel cardinal est appelé faiblement inaccessible. On donne une idée de la taille d'un cardinal faiblement inaccessible, puis on définit de même les notions de cardinal fortement limite et de cardinal fortement inaccessible.

A la section 5 on donne quelques compléments d'arithmétique ordinale qui nécessitent l'axiome du choix : ordinaux indécomposables, forme normale de Cantor.

A la section 6 on découvre un peu de combinatoire élémentaire sur ω₁: ensembles clos cofinaux, ensembles stationnaires, notion d'intersection diagonale, théorème de Fodor, théorème de Jack Silver.

En matière de conclusion, on présente à la section 7 un aperçu de l'étendue actuelle de nos connaissances, et surtout de nos ignorances, en matière de combinatoire transfinie, et on explique rapidement comment on va pallier (très partiellement) à ces insuffisances dans les chapitres suivants.

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Nous nous intéressons ici à la hiérarchie cumulative des Vα et aux applications qu'elle offre dans le domaine de la théorie des ensembles.

A la section 1 on définit récursivement les Vα pour tout ordinal α. On note V la collection de tous les ensembles qui appartiennent au moins à un Vα. On obtient ainsi une définition formelle de la notion d'ensemble pur, pour laquelle on n'avait pu donner qu'une approche naïve au Chapitre 5 : un ensemble x est pur ssi il existe un ordinal α tel que x∈Vα. On définit le rang d'un ensemble pur comme le plus petit ordinal α tel que x∈Vα+1 . On donne ensuite quelques résultats sur les Vα , dont la plupart sont basés sur les propriétés de la fonction rang, puis on indique au passage la place des objets mathématiques usuels dans la hiérarchie cumulative, et on explique rapidement que l'essentiel de l'édifice mathématique (hors théorie des ensembles) peut être reformalisé dans Vω+ω . Se pose alors de façon naturelle la question suivante : tout ensemble est-il pur ? 

A la section 2 on introduit l'axiome de fondation AF, dont on donne quelques conséquences immédiates. On montre ensuite que l'axiome de fondation est équivalent à l'assertion : tout ensemble est pur, et on termine par une discussion philosophique sur le statut de AF en mathématiques.

La section 3 est consacrée aux cardinaux généralisés. La problématique est la suivante : pour éviter de parler de classes cardinales, comment définir une fonctionnelle Card de domaine 𝓤 (l'univers) de telle façon que pour tous ensembles x,y on ait Card(x)=Card(y) ssi x et y sont équipotents. On a vu au Chapitre 12 que ceci était réalisable en présence de AC. On voit ici qu'il est encore possible d'atteindre cet objectif en l'absence de AC mais en présence de AF. Ceci nous conduit à la définition des cardinaux généralisés, dont on donne quelques propriétés élémentaires, constatant ainsi que les cardinaux généralisés sont d'une souplesse de manipulation bien moindre que les cardinaux usuels. On aborde enfin très rapidement le problème de la cardinalité dans le cas général (en l'absence à la fois de AC et de AF).

A la section 4, même si ce n'est pas absolument indispensable pour faire des mathématiques, on décide d'incorporer définitivement AF à notre théorie fondationnelle. On note ZFC le système obtenu en ajoutant l'axiome de fondation à ZFC*, et on donne au passage une variante de ZFC, obtenue en ôtant le schéma de remplacement et en y mettant un schéma d'axiomes voisin, appelé le schéma de collection.

Enfin, la section 5 est consacrée au schéma de réflexion, qui n'est valable que dans le système ZFC complet. On commence par dire un mot de la notion d'absoluité, qui fera l'objet d'une étude approfondie au Chapitre 17. On énonce ensuite le schéma de réflexion, dont on explique en quoi il s'agit d'un résultat d'absoluité, et on termine par la preuve du schéma de réflexion.

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