Ce chapitre est la suite logique du Chapitre 9, dans lequel on avait constaté qu'on pouvait faire assez peu de choses avec la notion de cardinal en l'absence d'un axiome supplémentaire, dans la mesure où seuls les ensembles bien ordonnables possédaient une cardinalité. Nous revenons maintenant mieux armés, avec AC, pour étudier la question.
La section 1 est consacrée à quelques préliminaires : on explique pourquoi on a décidé de travailler dorénavant dans le système ZFC*, puis on rappelle quelques conséquences immédiates de AC : comparabilité de la taille de deux ensembles, existence d'une cardinalité pour tout ensemble.
A la section 2 on découvre la hiérarchie des cardinaux infinis, AC nous garantissant que tout cardinal est un aleph. On définit la notion de cardinal successeur et de cardinal limite. Se pose alors le problème de la cardinalité de ℝ. On définit les énoncés HC (hypothèse du continu) et HGC (hypothèse généralisée du continu), puis on présente la hiérarchie des ℶα (beth alpha), ce qui permet de donner une nouvelle formulation de HGC : ∀α, ON(α)⇒ℶα=ℵα .
La section 3 consiste en une étude simplifiée de l'arithmétique cardinale. On commence par définir les opérations élémentaires : addition et multiplication cardinales. On constate que sous AC ces deux opérations sont triviales dans le cas d'une somme ou d'un produit d'un nombre fini de cardinaux. Ces définitions peuvent être étendues au cas d'une infinité de cardinaux. Là encore l'addition est une opération triviale, mais il en va tout autrement de la multiplication cardinale étendue, sur laquelle on a peu d'informations en l'absence d'hypothèses supplémentaires. On démontre le seul vrai résultat significatif, à savoir le théorème de König. On définit ensuite l'exponentiation cardinale, sur laquelle, là encore, on sait fort peu de choses.
La section 4 est consacrée à la notion de cofinalité, qui est absolument indispensable pour faire une théorie des ensembles élaborée. Si κ est un cardinal, la cofinalité de κ est le plus petit cardinal λ tel qu'il existe une application cofinale (c'est-à-dire non bornée) de λ dans κ. Un cardinal est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité, et singulier dans le cas contraire. On montre sous AC que tous les cardinaux successeurs sont réguliers, puis le théorème de König nous permet d'affirmer que le continu ne peut pas être de cofinalité dénombrable. Tous les cardinaux limites qu'on connaît sont singuliers, mais on ne sait pas s'il existe ou non un cardinal limite régulier. S'il existe, un tel cardinal est appelé faiblement inaccessible. On donne une idée de la taille d'un cardinal faiblement inaccessible, puis on définit de même les notions de cardinal fortement limite et de cardinal fortement inaccessible.
A la section 5 on donne quelques compléments d'arithmétique ordinale qui nécessitent l'axiome du choix : ordinaux indécomposables, forme normale de Cantor.
A la section 6 on découvre un peu de combinatoire élémentaire sur ω₁: ensembles clos cofinaux, ensembles stationnaires, notion d'intersection diagonale, théorème de Fodor, théorème de Jack Silver.
En matière de conclusion, on présente à la section 7 un aperçu de l'étendue actuelle de nos connaissances, et surtout de nos ignorances, en matière de combinatoire transfinie, et on explique rapidement comment on va pallier (très partiellement) à ces insuffisances dans les chapitres suivants.