Ce chapitre constitue un premier contact avec la notion moderne de cardinal.

La section 1 est consacrée à quelques préliminaires. On rappelle l'énoncé du théorème de Cantor-Bernstein, dont on donne une troisième démonstration, davantage dans l'air du temps de la théorie des ensembles modernes. On démontre ensuite le théorème de Cantor, qui dit que pour tout ensemble a , il n'existe pas de bijection de a sur 𝓟(a) . On explique ensuite l'insatisfaisance de la notion de classe cardinale, et on décide de choisir de préférence un représentant canonique dans chaque classe, comme on l'a fait au Chapitre 5 pour les ordinaux.

A la section 2 on définit un cardinal comme étant un ordinal initial, c'est-à-dire un ordinal qui ne peut pas être mis en bijection avec un ordinal plus petit. On montre que tout ordinal fini est un cardinal, ce qui revient à dire que les cardinaux finis se comportent comme les entiers naturels. Il est donc possible de développer la combinatoire finie dans le monde de ZF. On s'intéresse ensuite aux cardinaux infinis, sur lesquels on définit la hiérarchie des alephs. On définit et on construit la clôture transitive de n'importe quel ensemble, ce qui nous permet de démontrer, sans trop de surprises, que la classe de tous les cardinaux ne constitue pas un ensemble.

La section 3 est consacrée à la notion de cardinalité d'un ensemble. Pour l'instant on ne sait la définir que dans le cas des ensembles bien ordonnables. Cela pose un certain nombre de problèmes, en particulier on ne sait pas si ℝ possède ou non une cardinalité. Dans une tentative de comparer ℝ avec ℵ₁ , on construit facilement une surjection de ℝ sur ω₁ mais, en l'absence d'un axiome supplémentaire, rien ne nous garantit l'existence d'une injection de ω₁ dans ℝ.

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