On entre maintenant dans la partie vraiment difficile de ce livre.  On trouvera ci-dessous une petite introduction dont le but essentiel est de remercier Boban, sans qui ces quatre chapitres n'auraient probablement jamais été écrits.

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Dans ce chapitre on présente un certain nombre de principes combinatoires, qui ont un intérêt en eux-mêmes, mais qui vont aussi nous permettre d'introduire des notions assez fines, qui nous seront utiles dans le chapitre suivant, consacré au forcing.

A la section 1 on s'intéresse aux différents théorèmes de Ramsey. On commence par quelques exemples très simples dans le cas fini, puis on donne une idée de ce qu'est le "calcul des partitions" dans le cas général. On démontre alors le théorème de Ramsey dans le cas fini, puis dans le cas infini. On explique au passage qu'il est possible de déduire le cas fini du cas infini. Pour terminer on se pose la question des généralisations possibles du théorème de Ramsey à des cardinaux non dénombrables.

A la section 2 on étudie rapidement quelques "invariants cardinaux" ou "caractéristiques cardinales du continu". Un invariant cardinal est un cardinal  kappa tel que aleph_0 < kappa inférieur ou égal à 2 puissance aleph_0 qui possède certaines propriétés combinatoires. (Cette étude n'a donc d'intérêt que si l'hypothèse du continu est fausse). Il existe toute une hiérarchie d'invariants cardinaux, qu'on sait en général ordonner les uns par rapport aux autres. On ne présente ici que les cardinaux a, b, p et t, et on démontre en particulier que aleph_1 inférieur ou égal à p  inférieur ou égal à t  inférieur ou égal à b  inférieur ou égal à a  inférieur ou égal à 2 puissance aleph_0..

La section 3 est consacrée à l'axiome de Martin. On définit d'abord ce qu'est un ordre partiel P (qu'on appellera plus tard une notion de forcing, les éléments de P étant des conditions de forcing), puis les notions de compatibilité, antichaîne, ensembles denses, filtres et filtres génériques sur P. On termine par l'énoncé des axiomes de Martin MA_kappa et MA.

A la section 4 on examine quelques conséquences de l'axiome de Martin.

1) Une conséquence combinatoire : MA_kappa implique kappa  < p.

2) Une conséquence cardinale : MA_kappa implique 2 puissance kappa = 2 puissance aleph_0.

3) Quelques conséquences en théorie de la mesure : on montre en particulier (dans R) que si MA_kappa est vrai, alors toute réunion de  kappa ensembles de mesure nulle est encore de mesure nulle, et que la mesure de Lebesgue est -additive.

4) Une conséquence en topologie, où on démontre une généralisation du théorème de Baire : si MA_kappa est vrai, alors toute intersection de  kappa ouverts denses de R est encore dense.

5) Une conséquence en théorie des ultrafiltres : MA entraîne l'existence d'un ultrafiltre de Ramsey.

6) Des conséquences en théorie des arbres : après quelques généralités sur les arbres on explique ce qu'est la propriété d'arbre (qui est une généralisation du lemme de König), puis on montre que omega_1 n'a pas la propriété d'arbre. On expose ensuite le problème de Souslin, et on note HS l'énoncé : "Il n'existe pas de droite de Souslin". On montre que l'existence d'une droite de Souslin peut s'exprimer en termes d'arbres, et on termine par la preuve du fait que MA_omega_1 implique HS.

A la section 5 on découvre le principe diamant, qui est un principe combinatoire un peu "surprenant". Pour simplifier on se limite au principe diamant_omega_1 , même si la plupart des résultats se généralisent aux principes diamant_kappa pour  kappa cardinal régulier. On démontre en particulier que diamant_omega_1 entraîne HC, ainsi que l'existence d'un arbre (donc d'une droite) de Souslin. On montre également au passage que L satisfait diamant_kappa pour tout cardinal régulier kappa.

Enfin, à la section 6, on dit un mot des principes Trèfle, Diamant+, Carré et carré_kappa .

Note importante : Dans tout ce chapitre (et, plus généralement, dans toute la Partie D), sauf mention explicite du contraire on travaille dans la théorie ZFC. L'axiome du choix sera donc utilisé sans précautions.

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Ce chapitre constitue un tournant décisif dans notre apprentissage des méthodes de preuves d'indépendance en théorie des ensembles. De même qu'au Chapitre 18 nous avons utilisé la technique des modèles intérieurs pour montrer, par exemple, la consistance de AC et HGC, il va maintenant nous falloir en quelque sorte "sortir de l'univers" pour démontrer (entre autres) la consistance de non-HC et non-AC. Cela va nous demander un peu plus de travail.

La section 1 consiste en une introduction informelle. Pour pouvoir effectuer les constructions d'extensions génériques il nous faut travailler dans une théorie légèrement plus forte que ZFC. On commence par expliquer pourquoi, même si la théorie ZFC + "Il existe un modèle transitif dénombrable de ZFC" est strictement plus forte que ZFC en consistency strength, on peut "faire comme si" il existait un tel modèle. On donne ensuite l'idée de la philosophie du forcing.

A la section 2 on donne une présentation axiomatique du forcing, qui diffère sensiblement de l'approche standard. Après avoir cerné le cadre général, on donne une liste de huit axiomes (qui seront complétés plus tard par un neuvième), qui, en quelque sorte, "racontent" les propriétés qu'on attend d'un filtre générique sur un ordre partiel (P,  inférieur ou égal, 1) et de la relation de forcing.

A la section 3 on se sert des 8 axiomes précédents pour définir la relation de forcing "p force phi" pour toute formule phi du langage de ZF. Cette définition est faite par récurrence sur la complexité des formules. Le cas le plus délicat est celui des formules atomiques, où on doit effectuer une définition par récurrence transfinie sur une relation bien fondée et localement petite.

A la section 4 on introduit l'axiome 9, qui est nécessaire si on veut que l'extension générique satisfasse ZFC. 

A la section 5 on dit un mot de l'approche standard, et on explique rapidement pourquoi les deux approches coïncident.

La section 6 est consacrée à la vérification des axiomes. On fait en quelque sorte machine arrière : on part de la définition de la relation de forcing telle qu'elle a été "intuitée" à la section 3, et on montre que les 9 axiomes reliant le modèle M à l'extension générique sont satisfaits. On décrit ensuite brièvement la construction de l'extension générique M[G].

A la section 7 on montre (enfin !) que l'extension générique M[G] est un modèle transitif de ZFC.

On fait une pause à la section 8 pour exposer quelques résultats combinatoires qui nous seront utiles dans les applications du forcing. On commence par les lemmes de tournesol, dont on donne une application qui sera cruciale dans la preuve de la consistance de non-HC. On continue par des compléments sur L et par un résultat technique concernant les classes quasi-universelles. Enfin on examine quelques résultats sur la cardinalité en présence de HGC.

La section 9 est consacrée aux applications du forcing :

1) Consistance de non-HC avec ZFC.

2) Consistance de HC avec ZFC.

3) Consistance de non-AC avec ZF.

On explique au passage qu'on peut désormais se permettre de faire du forcing dans V, ce qui consiste à "imaginer" le filtre générique G et à construire, en quelque sorte, un"sur-univers" V[G].

Enfin, à la section 10 on donne une approche alternative du forcing par les algèbres de Boole complètes, telle qu'elle est développée par exemple dans le livre de Jech : "Set Theory". On commence par un peu de vocabulaire concernant les treillis, les algèbres de Heyting et les algèbres de Boole, dont on donne au passage quelques propriétés, notamment les liens avec la logique. On explique ensuite ce qu'est la complétion d'une algèbre de Boole, puis on montre comment un ordre partiel séparatif peut être plongé canoniquement dans une algèbre de Boole complète. On en vient alors aux modèles à valeurs booléennes. On montre en particulier que le modèle VB satisfait tous les axiomes de ZFC, et qu'il va nous permettre de construire des preuves d'indépendance. On définit ensuite la relation de forcing dans le cadre des algèbres de Boole complètes, et on redémontre le théorème fondamental du forcing et le théorème du modèle générique. On termine par une application du forcing dans ce cadre à une démonstration alternative de la consistance de non-AC.

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Dans ce chapitre on donne la méthode générale du forcing itéré, qui nous permettra de prouver la consistance de l'axiome de Martin avec ZFC+non-HC. Au vu de la complexité du sujet, certaines démonstrations ont été seulement esquissées.

La section 1 est consacrée à quelques préliminaires : on expose le lemme de maximalité, puis on l'applique à la fabrication de termes conditionnels. 

A la section 2 on découvre la notion de plongement complet, qui jouera un rôle important dans l'étude du forcing itéré. 

A la section 3 on présente le forcing produit : on donne d'abord le principe, puis une application simple à une preuve d'indépendance.

La section 4 est consacrée aux ordres partiels <kappa -clos, qui généralisent de façon naturelle la notion d'ordre sigma-clos qui a été vue au chapitre précédent.

A la section 5 on donne un résultat d'indépendance simple, qui est un cas particulier du théorème d'Easton, qu'on énonce sans démonstration. 

A la section 6 on présente (enfin) la méthode du forcing itéré. On commence par les itérations à deux étages, puis on définit les itérations à support fini. On termine par un exposé succinct sur l'itération transfinie de conditions de forcing. 

A la section 8 on se sert du forcing itéré pour prouver la consistance de l'axiome de Martin MA_kappa pour tout cardinal régulier non dénombrable kappa . 

Enfin, à la section 9 on discute d'un résultat de Woodin sur la continuité automatique de tout homomorphisme de l'algèbre de Banach C(K, C) à valeurs dans une algèbre de Banach quelconque.

Dans tout ce chapitre on fait le forcing dans V, comme on l'a déjà fait pour la négation de l'axiome du choix au chapitre précédent.

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Dans ce chapitre nous introduisons la notion de forcing propre, qui est une généralisation naturelle du forcing cad, et l'axiome de forcing propre PFA. 

La  section 1 est consacrée à des rappels et compléments sur le forcing et le forcing produit. On y donne notamment des exemples de réels génériques et de forcings produits. 

La section 2 est consacrée à quelques préliminaires. On commence par des rappels et compléments sur les ensembles stationnaires. On y définit notamment les stationnaires "à la Jech", dont on donne quelques propriétés élémentaires. Viennent ensuite quelques rappels sur la théorie des modèles et sur la terminologie du forcing. 

A la section 3 on introduit la notion de forcing propre, dont on donne trois définitions équivalentes. On montre en particulier que les forcings cad ou sigma-clos sont propres, puis on énonce l'axiome A, qui est un cas particulier de propreté. 

A la section 4 on découvre l'axiome PFA, qui est un renforcement de l'axiome de Martin MA_omega_1 . On évoque sans démonstration la consistance de PFA avec l'existence d'un cardinal supercompact, et on montre au passage que tout forcing vérifiant l'axiome A est propre, et que la réciproque est fausse. Puis on donne quelques applications combinatoires simples de PFA. 

A la section 5 on s'intéresse aux sous-ensembles omega_1-denses de R. Une partie X  de R est dite omega_1-dense si pour tout intervalle I non réduit à un point, on a Card(X inter I)= omega_1. On commence par montrer que, sous HC, il existe deux ensembles omega_1-denses A et B qui ne sont pas isomorphes. Puis on montre, dans ZFC, grâce à une itération à support dénombrable, qu'on peut forcer deux ensembles omega_1-denses A et B à être isomorphes dans une extension convenable. Enfin, on utilise PFA pour montrer qu'il existe une extension générique de l'univers dans laquelle toutes les parties omega_1-denses de R sont isomorphes. 

A la section 6 on donne, sans démonstration, deux applications un peu plus sophistiquées de PFA : la PID (P-Ideal Dichotomy) et l'axiome de coloriage ouvert OPA (Opening Coloring Axiom) selon une version due à Stevo Todorcevic. 

A la section 7 on donne la démonstration d'un théorème difficile, qui avait été laissée en suspens à la section 3 : l'équivalence entre les trois définitions de la propreté. 

A la section 8 on montre qu'une itération à support dénombrable de forcings propres, de longueur quelconque, est propre. 

Enfin, à la section 9 on utilise le forcing propre pour présenter une nouvelle méthode pour itérer des conditions de forcing, due à Boban Velickovic, utilisant des "conditions d'habillement" (Side Conditions).

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