Dans ce chapitre on dresse la liste des premiers axiomes de la théorie des ensembles et on examine quelques-unes de leurs conséquences. On développe en particulier une théorie des ensembles finis qui colle à première vue avec la réalité ambiante, et on définit la notion d'ordinal, qui est absolument fondamentale pour l'étude de la théorie générale des ensembles.

A la section 1 on précise quel est le cadre le plus approprié pour faire de la théorie des ensembles, en l'occurrence celui de la logique du premier ordre. Toutefois, les restrictions qu'on s'est imposées au Chapitre 3 vont nous obliger à envisager une notion un peu spécifique, celle d'ensemble pur. On va développer notre axiomatique dans le monde des ensembles purs, en espérant que cet univers va être suffisamment vaste pour nous permettre d'y retrouver la plupart des objets mathématiques usuels. On termine cette introduction par un bref historique de la théorie moderne des ensembles : constitution de l'axiomatique de Zermelo, puis de celle de Zermelo-Fraenkel.

A la section 2 on énonce les axiomes de base de la théorie des ensembles, qui constituent le système Z fini : schéma de compréhension, axiomes d'extensionnalité, de l'ensemble vide, de la paire, de la réunion et de l'ensemble des parties¹. On montre au passage comment la restriction du schéma de compréhension qui a été décidée au Chapitre 3 permet en un certain sens de résoudre le paradoxe de Russel : il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles. Ce résultat nous amène à considérer la notion de collection, ou classe définissable.

Dans la section 3 on montre que la plupart des objets mathématiques usuels ont une description, ou au moins une contrepartie, ou copie, dans le monde des ensembles purs. Il en est ainsi, par exemple, des notions de couple, p-uplet, produit cartésien, réunion, intersection, relation d'équivalence, relation d'ordre, magma, groupe, anneau, corps, espace vectoriel.

La section 4 est consacrée à la notion fondamentale de bon ordre, ou ensemble bien ordonné. On en donne quelques exemples simples, puis on démontre les lemmes de rigidité du bon ordre. On explique pourquoi ces résultats vont nous inciter tout naturellement à essayer de hiérarchiser les bons ordres : on va définir un invariant, ou représentant canonique, pour chaque classe d'équivalence de bons ordres.

A la section 5 on découvre la notion d'ordinal. Suite à une idée de von Neumann, on définit un ensemble transitif comme étant un ensemble dont tout élément est aussi une partie. Ceux des ensembles transitifs qui sont bien ordonnés par la relation d'appartenance sont appelés ordinaux. On étudie quelques propriétés élémentaires des ordinaux, puis on montre que la collection des ordinaux ne constitue pas un ensemble. On s'intéresse pour finir aux ordinaux finis, appelés aussi entiers naturels, dont on constate qu'ils ont des propriétés très voisines de celles des entiers intuitifs. Mais, en l'absence d'un axiome supplémentaire, rien ne nous garantit l'existence d'un ensemble de tous les ordinaux finis.

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