Dans ce chapitre on abandonne définitivement la théorie naïve pour tenter de donner les premiers rudiments de ce que pourrait être une axiomatisation effective de la théorie des ensembles. L'essentiel de l'exposé consiste en une démonstration informelle du fait que la méthode choisie ici est la bonne.

Dans la section 1, on montre qu'il est impossible de définir correctement le mot ensemble et on se résout, à défaut d'une définition rigoureuse, à essayer de cerner les ensembles à travers ce qui semble être leurs propriétés.

La section 2 est consacrée à un bref historique de la théorie des ensembles moderne. On raconte en quelques lignes l'histoire du mathématicien allemand Georg Cantor qui, pour avoir enfin donné un vrai visage à l'infini actuel, peut être considéré comme le grand précurseur de cette théorie. Puis on explique très rapidement comment la découverte magistrale de Cantor concernant l'existence de plusieurs sortes d'infinis, ainsi que les problèmes qui en ont résulté, ont peu à peu incité les mathématiciens de cette époque à envisager une axiomatisation progressive de la théorie des ensembles.

Dans la section 3 on essaie de développer une axiomatique primaire basée sur des observations courantes : deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments (c'est l'axiome d'extensionnalité), et d'autre part un ensemble paraît bien n'être rien d'autre que la collection des éléments x qui vérifient une certaine propriété P(x) (schéma de compréhension). On se heurte alors inévitablement à 2 écueils : d'abord le paradoxe de Berry (le plus petit entier qui n'est pas définissable en moins de quarante mots) nous montre qu'il va falloir développer une logique formelle pour préciser clairement la notion de propriété. Ensuite le paradoxe de Russel (le barbier du village rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes) nous incite à restreindre le schéma de compréhension.

A la section 4 on évoque le désir de construire une axiomatique avancée dans laquelle les axiomes écrits devront obéir à certaines règles syntaxiques, et où le schéma de compréhension (appelé aussi, dans ce cas, schéma de séparation) sera restreint aux sous-ensembles d'un ensemble donné a priori. S'impose alors la nécessité d'introduire de nouveaux axiomes pour permettre la construction d'ensembles ex nihilo.

Enfin, à la section 5 on donne un rapide aperçu du plan des chapitres suivants, et on montre en particulier comment on va introduire au fur et à mesure les nouveaux axiomes dont on a besoin.

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