Dans ce chapitre on présente un certain nombre de notions techniques qui nous seront nécessaires pour l'étude de l'univers des constructibles de Gödel, pour le forcing et pour les grands cardinaux. L'essentiel des difficultés tourne autour de la notion d'absoluité.
A la section 1 on définit la complexité des formules ensemblistes (notion qui a déjà été abordée au Chapitre 15 dans le domaine de l'arithmétique). On commence par les formules Δ_0 et Δ0_T, T étant une théorie contenant au moins Z. Puis viennent les formules Σ1 , Π1 , Σ1_T , Π1_T, ainsi que leurs généralisations aux formules Σn , Πn , Σn_T, Πn_T. Enfin, on dit un mot des formules Σ1_n, Π1_n, Σm_n, Πm_n, qui joueront un rôle important au Chapitre 24.
A la section 2 on aborde les questions d'absoluité. On donne la définition générale, suivie de quelques propriétés simples. On explique qu'en général le problème est complexe, mais qu'on peut obtenir des résultats intéressants dans le cas des modèles transitifs. On démontre alors l'absoluité des formules Δ0_ZF pour lesdits modèles, dont on donne quelques applications. On montre en particulier un théorème de dichotomie : si M est un sous-modèle transitif de (V,∈) , alors ou bien M est modèle intérieur de ZF (c'est-à-dire que M est une classe propre qui contient les mêmes ordinaux que V ), ou bien M est un ensemble, inclus dans un certain Vα . On en vient ensuite à l'extension aux formules Σ1_ZF_1 , Π1_ZF et Δ1_ZF. On montre la semi-absoluité ascendante des formules Σ1_ZF, la semi-absoluité descendante des formules Π1_ZF et l'absoluité des formules Δ1_ZF. Cette dernière propriété nous permet de démontrer l'absoluité des bons ordres, résultat fondamental pour la suite. Enfin, dans un dernier paragraphe, on justifie a posteriori les rares résultats qui avaient été laissés en suspens au Chapitre 16.
La section 3 est consacrée au lemme d'effondrement de Mostowski. Les modèles transitifs ayant montré de bonnes propriétés, il s'agit de prouver que, sous certaines conditions, une classe relationnelle peut être projetée sur une classe transitive. Après quelques préliminaires il nous faut généraliser les théorèmes de récursion qui ont été établis au Chapitre 8 pour la relation d'appartenance à des relations binaires quelconques. On peut alors énoncer, puis démontrer le lemme d'écrasement de Mostowski et en donner quelques applications.